[논문 리뷰] Controllability of 3D Low Reynolds Swimmers

Jérôme Lohéac, Alexandre Munnier|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 27.

Micro and Nano Robotics참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스토크스 방정식에 의해 지배되는 3차원 미세수영자들의 제어 가능성에 대해 입증하며, 임의의 궤적을 형태 변형을 통해 추적할 수 있음을 보여준다—즉, 거대한 형태 변화에 대해 임의로 작은 편향을 초래하는 경우에도 마찬가지로 성립한다. 또한 자유영역 수영에서 네 가지 일반적인 기본 변형만으로도 충분함을 보이며, 일반적인 비용 함수계열에 대해 최적의 수영 전략이 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this article, we consider a swimmer (i.e. a self-deformable body) immersed in a fluid, the flow of which is governed by the stationary Stokes equations. This model is relevant for studying the locomotion of microorganisms or micro robots for which the inertia effects can be neglected. Our first main contribution is to prove that any such microswimmer has the ability to track, by performing a sequence of shape changes, any given trajectory in the fluid. We show that, in addition, this can be done by means of arbitrarily small body deformations that can be superimposed to any preassigned sequence of macro shape changes. Our second contribution is to prove that, when no macro deformations are prescribed, tracking is generically possible by means of shape changes obtained as a suitable combination of only four elementary deformations. Eventually, still considering finite dimensional deformations, we state results about the existence of optimal swimming strategies for a wide class of cost functionals.

연구 동기 및 목표

• 3차원 미세수영자가 스토크스 유체 내에서 자가 변형을 통해 임의의 궤적 추적을 가능하게 할 수 있는지 규명하는 것.
• 이러한 제어 가능성은 사전에 정해진 거대한 형태 변화에 대해 임의로 작은 형태 변화를 초래하는 것으로도 달성 가능한가를 조사하는 것.
• 사전에 정해진 거대한 운동이 없는 상태에서 일반적인 궤적 추적을 달성하기 위해 필요한 최소한의 기본 형태 변형의 수를 규명하는 것.
• 에너지나 시간 최소화와 같은 일반적인 비용 함수계열에 대해 최적의 수영 전략이 존재하는지 확인하는 것.

제안 방법

• 수영자는 단위 구의 $C^1$-디피오모르픽 변형으로 모델링되며, 형태 변화는 $\vartheta_t \in W^{1,1}([0,T], D^1_0(\mathbb{R}^3))$로 매개변수화된다.
• 유체역학적 힘과 유속은 몸체 고정 기준에서 정적인 스토크스 방정식에 의해 지배되며, 경계 조건은 변형된 수영자 표면 $\Sigma_t = \Theta_t(\Sigma)$에 정의된다.
• 변수 치환 $\varUpsilon = \text{Id} + \xi$를 통해 문제를 기준 도메인으로 매핑함으로써, 가중 치수 공간과 경계 적층 정리의 분석이 가능해진다.
• 유체-구조 상호작용 문제의 해 존재성과 정규성은 가중 치수 공간 간의 이중 연속 동형사상과 변형된 도메인에서의 스토크스 문제의 활용을 통해 확립된다.
• 기하 제어 이론이 형태 변화에 의해 정의된 제어 시스템의 구조를 활용하여 제어 가능성 분석이 수행된다.
• 약한 수렴 수열에서의 컴actness와 하부 연속성의 논리를 활용하여, $W^{1,1}$ 내에서의 약한 수렴 수열의 맥락에서 최적 수영 전략의 존재성이 증명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토크스 유체 내에서 자가 변형만을 사용하여 3차원 공간 내 임의의 궤적을 미세수영자가 추적할 수 있는가?
• RQ2 임의로 작은 형태 변화를 사용하여 사전에 정해진 거대한 형태 변화 시퀀스에 대해 추가로 초래할 수 있는 궤적 추적은 가능한가?
• RQ3 자유영역 수영 모드(즉, 거대한 형태 변화가 사전에 정의되지 않은 상태)에서 일반적인 제어 가능성을 달성하기 위해 필요한 최소한의 기본 형태 변형의 수는 얼마인가?
• RQ4 에너지나 시간 최소화와 같은 광범위한 비용 함수계열에 대해 최적의 수영 전략이 존재하는가?

주요 결과

• 수영자의 운동을 지배하는 동역학 시스템은 제어 가능하다: $\mathbb{R}^3 \times \text{SO}(3)$ 내의 임의의 궤적에 대해, 수영자를 그에 근접하게 이끄는 형태 변화의 수열이 존재한다.
• 제어 가능성은 임의로 작은 형태 변화를 통해 달성될 수 있으며, 이는 사전에 정해진 거대한 형태 변화 시퀀스에 대해 초래될 수 있다—이를 '동기화 수영'이라 칭한다.
• 자유영역 수영 모드(즉, 거대한 형태 변화가 없는 경우)에서는, 약간의 교차 조건을 만족하는 네 가지 일반적인 기본 변형만으로도 제어 가능성이 달성된다.
• 에너지, 시간, 이동 거리 등 다양한 비용 함수계열에 대해 최적의 수영 전략이 존재함을 증명하였다.
• 유체-구조 상호작용 문제의 해 연산자는 이중 연속 동형사상임을 입증하였으며, 이는 형태 변화에 대한 잘 정의되고 안정된 문제의 성립을 보장한다.
• 분석은 고정된 기준 도메인으로의 변수 치환과 변형된 구성에서의 정규성과 강도를 유지하는 데 기여하는 가중 치수 공간의 사용에 의존한다.