[논문 리뷰] Controllability of the cubic Schroedinger equation via a low-dimensional source term

Andrey Sarychev|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 토러스 위에서 2차원 확산이 없는 입자형 슈뢰딩거 방정식이 추가 소스 항을 통해 단지 네 개의 제어 모드만을 사용하여 근사 제어 가능하고, 유한차원 사영에서 제어 가능하다는 것을 입증한다. 또한, $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 공간에서 정확한 제어 가능성은 유한차원 제어로는 달성 불가능하다는 것을 보여준다. 제어는 네 개의 복소 지수 함수로 구성된 소스 항을 통해 이루어지며, 이는 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 공간에서의 근사 제어 가능성과 모든 유한차원 부분공간에서의 제어 가능성만으로도 충분하다. 반면, 전체 공간에서의 정확한 제어 가능성은 유한차원 제어로는 달성 불가능하다.

ABSTRACT

We study controllability of $d$-dimensional defocusing cubic Schroedinger equation under periodic boundary conditions. The control is applied additively, via a source term, which is a linear combination of few complex exponentials (modes) with time-variant coefficients - controls. We manage to prove that controlling at most $2^d$ modes one can achieve controllability of the equation in any finite-dimensional projection of the evolution space $H^{s}(\\mathbb{T}^d), \\ s>d/2$, as well as approximate controllability in $H^{s}(\\mathbb{T}^d)$. We also present negative result regarding exact controllability of cubic Schroedinger equation via a finite-dimensional source term.

연구 동기 및 목표

• 주어진 주기적 경계 조건 하에서 추가 제어를 통해 2차원 확산이 없는 입자형 슈뢰딩거 방정식의 제어 가능성에 대해 연구한다.
• 특히, 유한한 수의 푸리에 모드(구체적으로 네 개)만 제어함으로써 유한차원 사영에서나 전체 소볼레프 공간 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 에서의 근사 제어 가능성을 도출할 수 있는지 확인한다.
• 유한차원 제어 공간에서의 정확한 제어 가능성은 불가능하다는 부정적 결과를 수립한다.
• 비선형 PDE에 기하학적 제어 이론과 리 대수 기법을 적용하여 유체역학에서의 방법을 비선형 슈뢰딩거 시스템으로 확장한다.

제안 방법

• 논문은 소볼레프 공간 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 에서의 진화로 입자형 슈뢰딩거 방정식을 모델링하며, $ \sigma > 0 $ 이므로 분석적 복잡성과 제어 문제를 분리할 수 있도록 충분한 정규성을 확보한다.
• 제어는 추가 소스 항 $ F(t,x) = \sum_{k \in \hat{\mathcal{K}}} v_k(t) e^{ik \cdot x} $ 을 통해 이루어지며, $ \hat{\mathcal{K}} \subset \mathbb{Z}^2 $ 는 유한한 파동 벡터 집합이고, $ v_k(t) \in L^\infty[0,T] $ 는 시간에 따라 변하는 제어 계수이다.
• 분석은 기하학적 제어 이론에서 유래한 리 대수 접근법을 사용하며, 제어된 모드에 관련된 벡터장의 반복된 리 브라켓의 스칼라 합을 중심으로 타당성(도달 가능성)을 평가한다.
• 논문은 힐베르트 공간에서의 컴팩턴스 기준과 분할 기법을 사용하여 제어 연산자의 등연속성(유계성)을 증명하며, 비선형 항의 유계성과 자유 전파자 $ e^{-i\tau\Delta} $ 의 등장성(등장성)을 기반으로 한다.
• 제어 영향의 적분에 대한 핵심 추정을 수립하며, 이는 리졸베인트 노름 $ \|\cdot\|^{rx} $ 를 통해 이루어지며, 제어 입력의 $ L^1 $-노름이 작을수록 상태에 미치는 영향이 작아짐을 보여주며, 이는 근사 제어 가능성의 증명에 필수적이다.
• 비선형 항의 구조와 제어 공간의 유한차원 성질에 기반하여, 전체 공간 $ H^{1+\sigma} $ 에서의 정확한 제어 가능성은 불가능하다는 것을 모순 증명을 통해 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 확산이 없는 입자형 슈뢰딩거 방정식은 소스 항에 포함된 네 개의 제어 푸리에 모드만으로도 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 에서 근사 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 유한차원 사영에서의 제어 가능성은 네 개의 모드만 제어함으로써 달성 가능한가?
• RQ3 이 시스템에서 근사 제어 가능성 또는 유한차원 사영 제어 가능성을 확보하기 위해 필요한 최소 모드 수는 얼마인가?
• RQ4 유한차원 소스 항을 사용할 때 전체 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 공간에서의 정확한 제어 가능성은 달성 가능한가?
• RQ5 비선형 항 $ |u|^2 u $ 의 구조가 유한차원 제어와 어떻게 상호작용하여 제어 가능성의 가능성을 제한하거나 가능하게 하는가?

주요 결과

• 소스 항에 포함된 네 개의 모드만 제어해도, 임의의 $ \sigma > 0 $ 에 대해 $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 공간에서 근사 제어 가능성이 확보된다.
• 모든 유한차원 사영에서의 제어 가능성은 단지 네 개의 제어 모드로도 달성 가능하다.
• 논문은 근사 제어 가능성과 유한차원 사영 제어 가능성을 동시에 충족하는 네 모드 제어 집합의 일반적인 가족을 규명하였다.
• 소스 항의 범위가 유한차원일 경우, $ H^{1+\sigma}(\mathbb{T}^2) $ 공간에서의 정확한 제어 가능성은 어떤 제어 모드의 선택에도 불구하고 불가능하다.
• 증명은 리졸베인트 노름 $ \|\cdot\|^{rx} $ 과 제어 연산자의 등연속성에 기반한 컴팩턴스 추론에 의존하며, 이는 작은 제어 입력이 상태 변화를 작게 만든다는 것을 보여준다.
• 비선형 항 $ |u|^2 u $ 는 $ H^{1+\sigma} $ 에서 유계적이지만, 제어 연산자가 전체 공간에 대해 전사가 되지 못하게 하여 정확한 제어 가능성을 차단한다.