[논문 리뷰] Convergence of transport noise to Ornstein-Uhlenbeck for 2D Euler equations under the enstrophy measure

Franco Flandoli, Dejun Luo|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수송형 소음을 가진 확률적 2D 올레르 방정식이 소음 계수의 발산성에 비례하는 스케일링 $ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $을 통해 적용될 때, 공간-시간 백색소음에 의해 구동되는 2D 라우레-니스 방정식으로 약한 수렴을 보임을 입증한다. 수렴은 에너지 측도 하에서 발생하며, 비선형 항 내에서의 상쇄 효과로 인해 발산하는 소음 보정을 갖는 쌍곡형 확률적 동역학이 파라볼릭 한계 행동을 나타냄을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the vorticity form of the 2D Euler equations which is perturbed by a suitable transport type noise and has white noise initial condition. It is shown that, under certain conditions, this equation converges to the 2D Navier-Stokes equation driven by the space-time white noise.

연구 동기 및 목표

• 소음 강도가 로그적으로 발산하는 2D 올레르 방정식의 극한 행동을 조사하는 것.
• 소음 내 이토-스트라토노비치 보정이 발산할 경우, 이를 감소하는 계수로 상쇄시켜 파라볼릭 한계를 도출할 수 있는지 판단하는 것.
• 에너지 측도 하에서 확률적 올레르 해가 공간-시간 백색소음에 의해 구동되는 라우레-니스 방정식으로의 약한 수렴을 확립하는 것.
• 정적 측도 프레임워크 내에서 비선형 드리프트 항의 행동을 분석하는 것, 특히 그 항이 분산 항보다 지배적인가를 확인하는 것.

제안 방법

• 벡터 필드 $ \sigma_k = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{k^\perp}{|k|^2} e_k $의 수열에 의해 구동되는 스트라토노비치 유형의 수송형 소음을 갖는 2D 올레르 방정식을 코어티시티 형태로 수식화한다.
• 발산하는 소음 진폭을 정규화하기 위해 스케일링 인자 $ \varepsilon_N = \left( \sum_{|k| \leq N} |k|^{-2} \right)^{-1/2} \sim 1/\sqrt{\log N} $를 도입한다.
• 이토-스트라토노비치 보정을 적용하여 스트라토노비치 소음을 이토 형태로 변환하고, 한계에서 라플라시안 유형의 분산 항이 드러나도록 한다.
• 갈레르킨 근사법을 사용하여 관련 콜모고로프 방정식을 풀고 정적 측도를 분석한다.
• 소벨레프 공간 $ H^{-2-\delta} $ 내에서의 분해 공식과 추정을 활용하여 비선형 드리프트 항 $ b_N(\omega) $ 의 수렴을 제어한다.
• 해당 수렴이 $ \mathbb{E}_\mu \left[ \| b_N(\omega) - b(\omega) \|_{H^{-2-\delta}}^2 \right] \to 0 $ 로서 $ N \to \infty $ 일 때 성립함을 증명함으로써 법칙의 약한 수렴을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음 강도가 $ \gamma = 2 $ 인 2D 올레르 방정식에서 $ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $ 로 스케일링될 경우, 발산하는 소음 보정이 잘 정의된 극한을 갖는가?
• RQ2 쌍곡형 확률적 올레르 방정식이 공간-시간 백색소음에 의해 구동되는 파라볼릭 라우레-니스 방정식으로 약하게 수렴할 수 있는가?
• RQ3 비선형 드리프트 항은 극한에서 어떻게 행동하는가? 그리고 정적 측도에서 분산 항에 비해 지배적인가?
• RQ4 에너지 측도 하에서 소벨레프 노름에서 비선형 드리프트의 수렴 속도는 어떠한가?

주요 결과

• 소음이 $ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $ 로 스케일링된 확률적 2D 올레르 방정식의 해는 공간-시간 백색소음에 의해 구동되는 2D 라우레-니스 방정식의 해로 약하게 수렴한다.
• 원래 방정식이 쌍곡형인 데도 불구하고, 소음 보정 내 상쇄 효과로 인해 한계 방정식은 파라볼릭 구조(라플라시안)를 갖는다.
• 비선형 드리프트 항 $ b_N(\omega) $ 는 $ L^2(\mu; H^{-2-\delta}) $ 내에서 $ b(\omega) $ 로 수렴하며, 수렴 속도는 $ \sum_{|j| \geq N} \frac{\log|j|}{|j|^{2+2\delta}} \to 0 $ 으로 제어된다.
• 생성자 $ \mathcal{L}_\infty $ 내 비선형 항은 분산 항에 의해 지배되지 않으며, $ \mathbb{E}_\mu[\langle b(\omega), DF \rangle^2] \leq C|j|^2 \log|j| $ 이지만, 분산 항 기여도는 오직 $ 4\pi^2|j|^2 $ 에 불과하다.
• $ L^2 $-노름 제어와 지배 수렴 정리에 기반하여 $ \mathbb{E}_\mu[\|b_N - b\|_{H^{-2-\delta}}^2] \to 0 $ 이 $ N \to \infty $ 일 때 성립함을 입증하였다.
• 결과적으로 에너지 측도가 한계 라우레-니스 동역학에 대해 불변임을 보이며, 이 수렴은 $ \nu $ 가 너무 작지 않은 경우에도 성립한다.