[논문 리뷰] Convergence Rate of Euler-Maruyama Scheme for SDEs with Rough Coefficients

Jianhai Bao, Xing Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비정규성 계수를 가진 확률미분방정식(SDEs)에 대한 오일러-마르야모 방법의 수렴 속도를 확립한다. 비퇴화 및 퇴화된 경우를 포함하며, 비정규성 계수를 가진 SDEs에 대해 Dini 연속성 및 하올더-Dini 연속성 조건 하에서 $L^2$-노름에서 수렴 속도 $ olde^{1/2}$ 를 증명한다. 이는 리프시츠 또는 하올더 연속성 조건을 초월한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with convergence rate of Euler-Maruyama scheme for stochastic differential equations with rough coefficients. The key contributions lie in (i), by means of regularity of non-degenerate Kolmogrov equation, we investigate convergence rate of Euler-Maruyama scheme for a class of stochastic differential equations, which allow the drifts to be Dini-continuous and unbounded; (ii) by the aid of regularization properties of degenerate Kolmogrov equation, we discuss convergence rate of Euler-Maruyama scheme for a range of degenerate stochastic differential equations, where the drift is locally Hölder-Dini continuous of order $\frac{2}{3}$ with respect to the first component, and is merely Dini-continuous concerning the second component.

연구 동기 및 목표

• 비정규(거친) 계수를 가진 SDEs에 대한 오일러-마르야모 방법의 수렴 속도를 분석한다. 특히, 확률적 이동항이 리프시츠 또는 하올더 연속성이 아닐 경우를 다룬다.
• 수렴 속도 결과를 산란 행렬가 비퇴화가 아닌 퇴화된 SDEs로 확장한다.
• Dini 연속성 및 하올더-Dini 연속성 조건 하에서 수렴을 확립한다. 이 조건들은 하올더 연속성이 아닐 수 있지만 여전히 정규성 있는 함수를 포함한다.
• 기존 문헌에서 일반적으로 유계이거나 하올더 연속성인 이동항을 가정하는 데서 비롯하는 제약을 극복하여 더 넓은 범주인 SDEs를 다룬다.
• PDE 기반 기법을 사용하여 비정규 계수를 가진 SDEs의 수치해법에 대한 엄밀한 이론적 기반을 마련한다.

제안 방법

• 비퇴화 콜모고로프 방정식의 정규성 이론을 활용하여 Dini 연속성 및 무한한 이동항을 가진 비퇴화 SDEs의 수렴을 분석한다.
• 퇴화된 콜모고로프 방정식의 정규화 성질을 적용하여 산란 행렬이 퇴화된 SDEs를 다룬다.
• 즈보킨 유형의 변환과 열핵 추정을 활용하여 오일러-마르야모 근사에서 발생하는 오차를 통제한다.
• 이토의 공식과 타일러 전개를 통한 변형 분석을 통해 정확한 해와 수치해의 차이를 유계화한다.
• 수치해의 $L^2$-오차에 대한 확률적 적분 부등식을 유도한 후 그에 따라 그론월의 부등식을 적용한다.
• Dini 및 하올더-Dini 연속성 조건을 활용하여 이동항의 연속성 모듈러스를 통제하며, 이는 비리프시츠 행동을 허용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dini 연속성 및 무한한 이동항 계수를 가진 SDEs에 대해 오일러-마르야모 방법의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 산란 행렬이 일관되게 비퇴화가 아닌 퇴화된 SDEs의 경우 수렴 속도가 유지되는가?
• RQ3 이동항의 정규성이 특히 첫 번째 성분에서 순서 $\frac{2}{3}$ 의 하올더-Dini 연속성일 경우 수렴 속도는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 리프시츠 또는 하올더 연속성보다 더 약한 정규성 조건 하에서도 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ5 퇴화된 콜모고로프 방정식의 정규화 성질이 거친 SDEs의 수치 오차를 통제하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비퇴화 SDEs에 대해 Dini 연속성 및 무한한 이동항을 가진 오일러-마르야모 방법은 $L^2$-노름에서 수렴 속도 $ olde^{1/2}$ 를 달성한다.
• 퇴화된 SDEs의 경우, 첫 번째 성분에서 국소적으로 순서 $\frac{2}{3}$ 의 하올더-Dini 연속성이고 두 번째 성분에서 Dini 연속성인 이동항을 가질 때 수렴 속도는 $ olde^{1/2}$ 이다.
• 이동항이 함수 $\phi \in \mathscr{D}^\varepsilon$ 를 만족하는 Dini 연속성 조건을 만족한다고 가정할 경우, 이는 비하올더 연속성 행동을 허용한다.
• 분석은 비퇴화 및 퇴화된 콜모고로프 방정식의 해의 정규성에 의존하며, 이는 PDE 기반 기법을 통한 오차 추정을 가능하게 한다.
• 핵심 기술적 단계는 하올더 부등식, 젠센 부등식, 그리고 $\phi^2$ 와 $\phi^{2(1+\varepsilon)}$ 의 볼록성(또는 볼록성의 역)을 이용하여 오차 항을 유계화하는 것이다. 이는 적분 가능성을 보장한다.
• 최종 오차 추정은 그론월의 부등식을 통해 유도되며, 이로 인해 $\phi$ 의 구체적 형태에 관계없이 일관된 $L^2$-오차 추정치 $ olde^{1/2}$ 를 확보한다. 유일한 조건은 $\phi$ 가 필요한 조건을 만족해야 한다는 것이다.