[논문 리뷰] Convex functions on dual Orlicz spaces

Freddy Delbaen, Keita Owari|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 18.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $L^*_{\Phi}$에서의 볼록 함수가 매크레이(topology) $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$에 대해 하방연속(lower semicontinuous, lsc)임을 보이며, 이는 모든 순서구간 $[-\zeta, \zeta]$에서의 확률 수렴에 대해 하방연속임과 동치이다. 핵심 기여는 $L^*_{\Phi}$에서의 코믈로스(Komlós)-유사 정리로, $L^*_{\Phi}$ 내의 유계(norm-bounded) 수열은 거의확실하게 수렴하고 $L^*_{\Phi}$ 내에서 유계인 전진볼록조합(forward convex combinations)을 갖는다. 이를 통해 매크레이 위상에서의 하방연속성과 연속성은 확률적 수렴을 통해 특성화된다.

ABSTRACT

In the dual $L_{Φ^*}$ of a $Δ_2$-Orlicz space $L_Φ$, that we call a dual Orlicz space, we show that a proper (resp. finite) convex function is lower semicontinuous (resp. continuous) for the Mackey topology $τ(L_{Φ^*},L_Φ)$ if and only if on each order interval $[-ζ,ζ]=\{ξ: -ζ\leq ξ\leqζ\}$ ($ζ\in L_{Φ^*}$), it is lower semicontinuous (resp. continuous) for the topology of convergence in probability. For this purpose, we provide the following Komlós type result: every norm bounded sequence $(ξ_n)_n$ in $L_{Φ^*}$ admits a sequence of forward convex combinations $\barξ_n\in\mathrm{conv}(ξ_n,ξ_{n+1},...)$ such that $\sup_n|\barξ_n|\in L_{Φ^*}$ and $\barξ_n$ converges a.s.

연구 동기 및 목표

• 이중 오르리츠 공간 $L^*_{\Phi}$에서의 볼록 함수의 매크레이 위상 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$에 대한 하방연속성과 연속성을 특성화하기 위해.
• 이중 오르리츠 공간의 이중공간에서 코믈로스 유사 정리 수립: 유계 수열의 전진볼록조합이 거의확실하게 수렴하고 $L^*_{\Phi}$ 내에서 유계임을 보장하기 위해.
• 함수 $f$가 $L^*_{\Phi}$에서 적절한 볼록 함수일 경우, $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-하방연속성은 확률 수렴에 대한 순서구간 $[-\zeta, \zeta]$에서의 하방연속성과 동치임을 보여주기 위해.
• 결과를 통화 유용도 함수와 볼록 리스크 측도에 적용하여 매크레이 위상 하에서의 정규성(regularity)을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 코믈로스 유사 결과 증명: $L^*_{\Phi}$ 내의 유계 수열은 전진볼록조합 $\bar{\xi}_n \in \text{conv}(\xi_n, \xi_{n+1}, \dots)$를 가지며, $\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^*_{\Phi}$ 이고 $\bar{\xi}_n \to \xi$ 거의확실하게 수렴함을 보임.
• 크라이엔-슐리안(Kreïn-Šmulian) 정리를 사용하여 매크레이 위상에서의 순차적 성질을 순서구간 내의 위상적 닫힘과 연결함.
• 순서구간 $[-\zeta, \zeta]$에서의 확률 수렴을 통한 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-하방연속성 특성화.
• 볼록 함수의 이중표현을 이용하여 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-연속성과 유계집합에서의 확률 수렴에 대한 연속성 간의 동치성 확립.
• 결과를 통화 유용도 함수에 적용하여, 상방연속성(upper semicontinuity)이 상방에서의 연속성과 동치임을 보이며, 연속성이 하방에서의 연속성과 동치임을 보임.
• 던포드-페티스(Dunford-Pettis) 정리와 모레의(Moreau) 정리를 사용하여 이중공간 설정에서의 연속성 결과를 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 볼록 함수가 $L^*_{\Phi}$에서 매크레이 위상 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$에 대해 언제 하방연속인가?
• RQ2 매크레이 위상 하방연속성은 $L^*_{\Phi}$의 순서구간에서의 확률 수렴으로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 모든 유계 수열 $(\xi_n)$이 $L^*_{\Phi}$ 내에서 거의확실하게 수렴하고 $L^*_{\Phi}$ 내에서 유계인 전진볼록조합을 갖는가?
• RQ4 이러한 결과들이 매크레이 위상 하에서 통화 유용도 함수와 볼록 리스크 측도의 정규성은 어떻게 특성화하는가?
• RQ5 순서폐쇄된 볼록집합의 $L^*_{\Phi}$에서의 약한*폐쇄는 그 순차적 약한*폐쇄와 동일한가?

주요 결과

• 적절한 볼록 함수 $f$가 $L^*_{\Phi}$에서 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-하방연속임은 모든 순서구간 $[-\zeta, \zeta]$에서의 확률 수렴에 대해 하방연속임과 동치이다.
• 모든 유계 수열 $(\xi_n)$에 대해, 전진볼록조합 $\bar{\xi}_n \in \text{conv}(\xi_n, \xi_{n+1}, \dots)$가 존재하여 $\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^*_{\Phi}$ 이고 $\bar{\xi}_n \to \xi$ 거의확실하게 수렴한다.
• 볼록집합 $C \subset L^*_{\Phi}$가 $\sigma(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-닫혀져 있음은 모든 $\zeta \in L^*_{\Phi}$에 대해 $C \cap [-\zeta, \zeta]$ 가 $L^0$에서 닫혀져 있음과 동치이다.
• 유한한 볼록 함수 $f$가 $L^*_{\Phi}$에서 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-연속임은 모든 유계집합에서의 확률 수렴에 대한 연속성과 동치이다.
• 통화 유용도 함수 $u$에 대해 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-상방연속성은 상방에서의 연속성과 동치이다: $\xi_n \downarrow \xi \Rightarrow u(\xi) = \lim_n u(\xi_n)$.
• 유한한 통화 유용도 함수에 대해 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-연속성은 하방에서의 연속성과 동치이다: $\xi_n \uparrow \xi \Rightarrow u(\xi) = \lim_n u(\xi_n)$.