[논문 리뷰] Convolution identities for Tribonacci numbers with symmetric formulae

Takao Komatsu, Rusen Li|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 08.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼피보나치 수의 복합 항등식을 대칭 공식과 지수형 간접 생성함수를 사용하여 유도하며, 삼차방정식 $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$의 근을 통해 고차항 항등식을 수립한다. 주요 기여는 삼피보나치 수의 곱의 합을 초기 조건과 정규화 상수가 명시적으로 계산된 고차항 삼피보나치 수열의 선형 조합으로 표현하는 것이다.

ABSTRACT

Many kinds of convolution identities have been considered about several numbers, including Bernoulli, Euler, Genocchi, Cauchy, Stirling, and Fibonacci numbers. The well-known basic result about Bernoulli numbers is due to Euler. The convolution identities have been studied. In this paper, we give convolution identities for Tribonacci numbers without binomial coefficients and with binomial coefficients. Convolution identities of Fiboancci numbers or Lucas numbers can be expressed in the form of linear combinations of Fibonacci numbers and Lucas numbers only. Fibonacci numbers and Lucas numbers are in pairs with different values. Covolution identities of Tribonacci numbers can be expressed in the linear combination of several Tribonacci numbers with different values. Symmetric formulas are basic tools for these expressions.

연구 동기 및 목표

• 삼피보나치 수가 제3차 재귀관계를 따르므로, 피보나치 수와 루카스 수의 복합 항등식을 삼피보나치 수로 확장한다.
• 특히 삼피보나치 수열에 적용 가능한 고차항 선형 재귀관계에 대해 대칭 공식 기법을 개발한다.
• 삼피보나치 수의 복합 합을 서로 다른 초기 조건을 가진 다른 삼피보나치 유형 수열의 선형 조합으로 표현한다.
• 특성 삼차방정식의 근과 지수형 생성함수를 사용하여 고차항 복합 항등식의 명시적 공식을 유도한다.

제안 방법

• 삼차방정식 $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$의 근 $\alpha, \beta, \gamma$를 포함하는 삼피보나치 수의 바인형 공식을 활용한다.
• 형태 $\sum_{n=0}^\infty T_n^{(a,b,c)} \frac{x^n}{n!} = c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{\beta x} + c_3 e^{\gamma x}$인 지수형 생성함수에 대칭 공식을 적용하며, 여기서 $c_i$는 근으로부터 유도된 계수이다.
• 대칭 지수 표현의 곱을 고차항 삼피보나치 수열의 생성함수와 동일시함으로써 복합 항등식을 도출한다.
• 다항계수 및 대칭 합 기법을 사용하여 $\sum_{k_1+k_2+k_3=n} T_{k_1}T_{k_2}T_{k_3}$와 같은 합을 새로운 초기 조건을 가진 삼피보나치 수열의 선형 조합으로 표현한다.
• 계수 $s_{i,j}^{(n)}$와 정규화 상수 $A_i^{(n)}$의 재귀관계를 활용하여 차수 간 일관성을 유지한다.
• 대수적 변환과 근의 성질을 적용하여 $T_k^{(a,b,c)}$인 고차항 삼피보나치 수열의 닫힌형 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피보나치 수와 루카스 수의 경우와 유사하게, 삼피보나치 수의 복합 항등식을 대칭 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ2 생성함수를 사용하여 삼피보나치 수의 고차항 복합 항등식(예: 삼중곱)을 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ3 세 개 이상의 삼피보나치 수의 곱의 합을 나타내는 선형 조합의 구조는 어떠한가?
• RQ4 대칭 공식과 근의 성질로부터 고차항 삼피보나치 수열의 정규화 상수와 초기 조건을 명시적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• n=2일 때, 복합 항등식은 $s_{5,0}^{(2)} = 6$, $s_{5,1}^{(2)} = -6$, $s_{5,2}^{(2)} = 19$, $A_5^{(2)} = 22^2$를 유도하며, 이는 수열 $T_k^{(6,-6,19)}$를 생성한다.
• n=3일 때, 계수는 $s_{5,0}^{(3)} = -61$, $s_{5,1}^{(3)} = -75$, $s_{5,2}^{(3)} = 163$, $A_5^{(3)} = -22^3 \cdot 2$이며, 이는 수열 $T_k^{(-61,-75,163)}$를 생성한다.
• n=4일 때, 값은 $s_{5,0}^{(4)} = -140$, $s_{5,1}^{(4)} = -425$, $s_{5,2}^{(4)} = 1098$, $A_5^{(4)} = 22^4 \cdot 2$이며, $T_k^{(-140,-425,1098)}$를 정의한다.
• n=5일 때, 수열은 $T_k^{(-1189,-2567,6318)}$이며, $A_5^{(5)} = -22^5 \cdot 2$로 유도되며, $s_{5,0}^{(5)} = -1189$, $s_{5,1}^{(5)} = -2567$, $s_{5,2}^{(5)} = 6318$로부터 유도된다.
• n=6일 때, 정규화 상수는 $A_5^{(6)} = 22^6 \cdot 2^2$이며, $s_{5,0}^{(6)} = -13019$, $s_{5,1}^{(6)} = -30411$, $s_{5,2}^{(6)} = 75841$로서 $T_k^{(-13019,-30411,75841)}$를 유도한다.
• n=1에 대해 항등식 $\sum_{k=0}^\infty T_k^{(3,1,3)} \frac{x^k}{k!} = -22 \left( c_2c_3 + c_3c_1 + c_1c_2 \right)^{-1} (e^{\alpha x} + e^{\beta x} + e^{\gamma x})$가 확립되며, 여기서 $c_i$는 근으로부터 유도된다.