[논문 리뷰] Convolutional encoding of 60,64,68,72-bit self-dual codes

Alexander V. Zhdanov|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 16.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제약 길이 K=9를 갖는 尾尾링크 컨volution럴 인코더를 사용하여 [60,30,12], [64,32,12], [68,34,12], 그리고 [72,36,12] 자기수반 코드를 구성한다. 여기서 한 정보 비트는 모듈로-2로 인코더 출력에 추가되고, 이에 따라 순환 행렬의 첫 번째 행도 적절히 갱신된다. 주요 기여는 β=483이고 γ=0인 새로운 [72,36,12] 단일 짝수 자기수반 코드의 발견으로, 기존의 극한 자기수반 코드를 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper we obtain the [60,30,12], [64,32,12], [68,34,12], [72,36,12] self-dual codes as tailbitting convolutional codes with the smallest constraint length K=9. In this construction one information bit is modulo two added to the one of the encoder outputs and the first row in the quasi-cyclic generator matrix is replaced by the obtained row. The pure quasi-cyclic construction with K=10 is also available for [68,34,12] and [72,36,12] codes. The new [72,36,12] singly even self-dual code with parameters Beta=483 Gamma=0 was obtained.

연구 동기 및 목표

• 길이 60, 64, 68, 72인 극한 자기수반 코드를 컨volution럴 인코딩 기법을 사용하여 구성하는 것.
• 자기수반성과 최적 최소 거리를 유지하면서 컨볼루션럴 인코더의 제약 길이 K를 최소화하는 것.
• 컨볼루션럴 인코딩으로 유도된 수정된 행을 사용해 순환 생성 행렬의 첫 번째 행을 교체함으로써 순환 생성 행렬의 수정을 탐색하는 것.
• 특히 길이 72에 대해 향상된 매개변수를 갖는 새로운 극한 자기수반 코드를 식별하는 것.
• 尾尾링크 컨볼루션럴 코드가 고최소 거리를 갖는 최적의 자기수반 코드를 도출할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 제약 길이 K=9인 尾尾링크 컨볼루션럴 인코더를 사용하여 자기수반 코드를 생성하는 것.
• 인코더 출력 중 하나에 정보 비트 하나를 모듈로-2로 추가하여 코드 구조를 수정하는 것.
• 자기수반성을 유지하기 위해 순환 생성 행렬의 첫 번째 행을 수정된 출력 행으로 교체하는 것.
• 보조 방법으로 K=10을 사용한 순수 순환 구조를 통해 [68,34,12] 및 [72,36,12] 코드를 구성하는 것.
• 대수적 및 계산적 검증을 통해 자기수반성과 최소 거리를 확인하는 것.
• 생성 행렬의 구조를 활용하여 결과 자기수반 코드의 분류를 위한 β 및 γ 불변량을 계산하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 길이 K=9인 尾尾링크 컨볼루션럴 코드로 길이 60, 64, 68, 72인 극한 자기수반 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ2 컨볼루션럴 인코딩을 통해 유도된 수정된 행으로 순환 생성 행렬의 첫 번째 행을 교체할 경우 자기수반성과 최소 거리는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 단일 짝수 [72,36,12] 자기수반 코드에 대해 β의 최대 가능한 값은 얼마이며, 이 값은 컨볼루션럴 인코딩을 통해 달성 가능한가?
• RQ4 K=9를 사용하면서도 최적 최소 거리 d=12를 유지하는 극한 자기수반 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법을 통해 이전에 문헌에 알려지지 않은 새로운 극한 코드를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• K=9를 사용한 尾尾링크 컨볼루션럴 인코딩을 통해 구성된 [72,36,12] 자기수반 코드는 β=483 및 γ=0을 달성하여 새로운 극한 코드를 이룬다.
• 모든 구성된 코드—[60,30,12], [64,32,12], [68,34,12], [72,36,12]—는 최적 최소 거리 d=12를 달성한다.
• 이 방법은 이러한 길이들에 대해 알려진 바 있는 최소 제약 길이 K=9를 갖는 자기수반 코드를 성공적으로 생성한다.
• K=10을 사용한 순수 순환 구조는 유효한 [68,34,12] 및 [72,36,12] 코드를 도출하여 이 접근법의 강건성을 확인한다.
• 새로운 [72,36,12] 코드는 β=483 및 γ=0을 갖는 단일 짝수 코드로서 이전에 알려진 코드들과 구별된다.
• 컨볼루션럴 인코딩을 통해 생성된 행으로 생성 행렬의 첫 번째 행을 수정함으로써 자기수반성과 코드 최적성은 유지된다.