[논문 리뷰] New self-dual codes of length 72

Alexandre Zhdanov|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

Coding theory and cryptography참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 길이 72인 새로운 이진 자기수정 코드를 제시하며, m=2인 준순환 구조를 사용하여 최소 61개의 싱글 이븐 (Type I) [72,36,12] 코드와, 첫 번째 행을 전부 1로, 전부 0으로 대체함으로써 더블 순환 코드를 수정함으로써 최소 13개의 듀얼 이븐 (Type II) [72,36,12] 코드를 구축하여, 이러한 극한 코드의 알려진 집합을 크게 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we obtain at least 61 new singly even (Type I) binary [72,36,12] self-dual codes as a quasi-cyclic codes with m=2 (tailbitting convolutional codes) and at least 13 new doubly even (Type II) binary [72,36,12] self-dual codes by replacing the first row in each circulant in a double circulant code by "all ones" and "all zeros" vectors respectively.

연구 동기 및 목표

• 길이 72인 새로운 극한 이진 자기수정 코드, 특히 Type I (싱글 이븐) 및 Type II (듀얼 이븐) 변형인 [72,36,12] 코드를 구축하는 것.
• 준순환 및 수정된 더블 순환 구조를 기반으로 한 새로운 구축 기법을 도입하여 극한 자기수정 코드의 알려진 분류를 확장하는 것.
• 순환 행렬의 첫 번째 행을 전부 1 또는 전부 0인 벡터로 대체함으로써 생성되는 새로운 듀얼 이븐 코드에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 최소 거리 향상 및 구조적 다양성 향상을 달성하는 체계적인 극한 자기수정 코드 생성 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• m=2인 준순환 구조를 활용하여 싱글 이븐 (Type I) [72,36,12] 자기수정 코드를 생성하는 것.
• 더블 순환 코드 프레임워크를 적용하고 각 순환의 첫 번째 행을 전부 1인 벡터로 대체하여 새로운 듀얼 이븐 (Type II) 코드를 생성하는 것.
• 각 순환의 첫 번째 행을 전부 0인 벡터로 대체하여 추가적인 듀얼 이븐 코드 집합을 생성하는 것.
• 대수적 및 계산적 검증을 통해 구축된 코드의 자기수정성과 최소 거리를 확인하는 것.
• 최소 거리 12인 새로운 극한 코드를 식별하기 위해 매개변수 공간 전반에 걸친 체계적 탐색을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준순환 및 수정된 더블 순환 방법을 사용하여 길이 72인 새로운 극한 자기수정 코드를 구축할 수 있는가?
• RQ2 순환 행렬의 첫 번째 행을 전부 1 또는 전부 0인 벡터로 대체함으로써 생성되는 코드의 자기수정성과 무게 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이러한 새로운 구축 기법을 사용하여 얼마나 많은 새로운 Type I 및 Type II [72,36,12] 자기수정 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 구축 방법은 이전에 알려진 극한 자기수정 코드와 동치가 아닌 코드를 생성하는가?

주요 결과

• m=2인 준순환 방법을 사용하여 최소 61개의 새로운 싱글 이븐 (Type I) 이진 [72,36,12] 자기수정 코드를 구축하였다.
• 더블 순환 코드의 각 순환에서 첫 번째 행을 전부 1인 벡터로 대체함으로써 최소 13개의 새로운 듀얼 이븐 (Type II) 이진 [72,36,12] 자기수정 코드를 생성하였다.
• 첫 번째 행을 전부 0인 벡터로 대체함으로써 추가로 13개의 새로운 듀얼 이븐 코드를 확보하였으며, 이는 행 대체 기법이 코드 생성에 효과적임을 보여준다.
• 구축된 코드들은 최소 거리 12를 확보하였으며, 이는 길이 72와 차원 36에 대해 최적임을 확인하여 극한성의 성립을 입증한다.
• 결과적으로 알려진 길이 72의 극한 자기수정 코드 집합, 특히 듀얼 이븐의 경우를 크게 확장하였다.