[논문 리뷰] Cooling and Low Energy State Preparation for 3-local Hamiltonians are FQMA-complete

Dominik Janzing, Paweł Wocjan외 1명|ArXiv.org|2003. 03. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 QMA 문제에 대한 양자 증거 상태를 준비하는 데 필요한 문제들로 구성된 양자 복잡도 클래스 FQMA를 도입한다. 3-local 하미르토니안에 대한 저에너지 상태를 준비하는 것이 FQMA-완전하다는 것을 증명하여, 이러한 상태 준비가 FQMA에 속하는 모든 문제를 해결하는 것과 동등한 난이도를 가짐을 보이고, 시스템 크기에 대해 다항적으로 감소하는 온도에서 열 평형 상태를 사용하여 이를 달성할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce the quantum complexity class FQMA. This class describes the complexity of generating a quantum state that serves as a witness for a given QMA problem. In a certain sense, FQMA is the quantum analogue of FNP (function problems associated with NP). The latter describes the complexity of finding a succinct proof for a NP decision problem. Whereas all FNP problems can be reduced to NP, there is no obvious reduction of FQMA to QMA since the solution of FQMA is a quantum state and the solution of QMA the answer yes or no. We consider quantum state generators that get classical descriptions of 3-local Hamiltonians on n qubits as input and prepare low energy states for these systems as output. We show that such state generators can be used to prepare witnesses for QMA problems. Hence low energy state preparation is FQMA-complete. Our proofs are extensions of the proofs by Kitaev et al. and Kempe and Regev for the QMA-completeness of k-local Hamiltonian problems. We show that FQMA can be solved by preparing thermal equilibrium states with an appropriate temperature decreasing as the reciprocal of a polynomial in n.

연구 동기 및 목표

• QMA 문제에 대한 양자 증거 상태를 준비하는 데 필요한 복잡도에 초점을 맞춘, FNP의 양자 버전인 FQMA라는 양자 복잡도 클래스를 정의하고 체계화하는 것.
• 3-local 하미르토니안에 대한 저에너지 상태 준비 문제의 FQMA-완전성을 입증하여, FQMA의 전체 난이도를 반영하는 물리적으로 직관적인 문제를 규명하는 것.
• 시스템 크기의 역수인 다항식의 함수로 감소하는 온도에서 열 평형 상태를 사용하여 이러한 상태 준비가 가능함을 보여주는 것.
• QMA(결정 문제)와 FQMA(상태 준비) 사이의 차이를 명확히 하는 것, 특히 증거 상태의 양자성 때문에 FQMA에서 QMA로의 직접적인 감소가 존재하지 않는다는 점을 강조하는 것.

제안 방법

• FQMA를 QMA 결정 문제에 대한 증거 역할을 하는 양자 상태를 준비해야 하는 문제들의 집합으로 정의하며, 이는 고전적 복잡도에서의 FNP와 유사하다.
• 3-local 하미르토니안에 대한 저에너지 상태 준비 문제를 정의하며, 목표는 지정된 임계값 $ d_n $ 이하의 에너지를 가진 상태를 준비하는 것이다. 이는 기저 상태 에너지 $ g_n $ 에 가까워야 한다.
• 열 평형 상태 $ \rho = \sum_j p_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $ 를 모델링하기 위해 지브스 군집 형식을 사용하며, 여기서 $ p_j \propto e^{-E_j/(KT)} $ 이다. 이를 통해 온도 $ T $ 에서 시스템의 평균 에너지를 분석한다.
• 증거가 존재할 경우 지브스 상태의 평균 에너지가 $ d_n $ 이하가 되도록 하는 온도 $ T_n $ 의 상한을 유도한다. 이는 부등식 $ T_n < \frac{1}{K \tilde{q}(n)} $ 를 사용하며, 여기서 $ \tilde{q}(n) $ 은 $ n $ 에 대한 다항식이다.
• QMA 문제의 수용 갭이 $ \epsilon $ 인 경우, 온도 $ T_n < \frac{1-2\epsilon}{4\ln 2 K(L+1)n} $ 이면 에너지 측정을 통해 증거가 존재하는지 여부를 구분하는 데 충분하다.
• 필요로 하는 온도가 시스템 크기 $ n $ 에 대해 역수인 다항식의 함수로 감소함을 보여주며, 이는 FQMA 문제를 해결하는 데 있어 냉각 메커니즘이 물리적으로 실현 가능함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3-local 하미르토니안에 대한 저에너지 상태 준비 문제는 새로 정의된 양자 복잡도 클래스 FQMA에 대해 완전한가?
• RQ2 시스템 크기에 대해 다항적으로 감소하는 온도에서의 열 평형 상태를 사용하여 FQMA 문제를 해결할 수 있으며, 그에 필요한 온도 스케일링은 무엇인가?
• RQ3 왜 FQMA에서 QMA로의 명백한 감소가 존재하지 않는가? 그리고 FNP의 고전적 증거와 비교할 때 증거 상태의 양자성은 어떻게 다를까?
• RQ4 기저 상태와 첫 번째 옹진 상태 사이의 에너지 갭은 FQMA 문제에서 '예'와 '아니오' 인스턴스를 구분하기 위해 필요한 온도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 시스템 크기에 대해 역수인 다항식의 함수로 감소하는 온도로 냉각하는 것의 물리적 의미는 무엇이며, 이는 양자 계산 문제를 해결하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 3-local 하미르토니안에 대한 저에너지 상태 준비 문제는 FQMA-완전함이 입증되어, FQMA 클래스 내에서 정점 난이도 문제로 규명되었다.
• 증거가 존재할 경우, $ T_n < \frac{1}{K \tilde{q}(n)} $ 인 온도에서 열 평형 상태가 존재하며, 여기서 $ \tilde{q}(n) $ 은 $ n $ 에 대한 다항식이다. 이러한 상태는 임계값 $ d_n $ 이하의 에너지를 가진다.
• QMA 문제의 수용 갭이 $ \epsilon $ 인 경우, 온도 $ T_n < \frac{1-2\epsilon}{4\ln 2 K(L+1)n} $ 이면 지브스 상태의 평균 에너지가 증거가 존재할 경우 $ \frac{1}{2(L+1)} $ 이하가 되며, 이는 '예'와 '아니오' 인스턴스를 효율적으로 구분할 수 있도록 한다.
• 필요로 하는 온도 스케일링은 시스템 크기 $ n $ 에 대해 다항적으로 감소하므로, 냉각 메커니즘은 원칙적으로 물리적으로 실현 가능하며, 지수적 냉각과는 달리 타당성이 있다.
• 평균 에너지가 $ (d-a)/(2KT) > n\ln 2 $ 를 만족할 경우 지브스 상태의 평균 에너지는 渐진적으로 $ d_n $ 이하가 되며, 이는 다항적으로 감소하는 $ T $ 를 통해 달성 가능하다. 따라서 증거가 존재할 경우 저에너지 상태가 보장된다.
• 결과적으로 이러한 낮은 온도로 냉각하는 것이 FQMA 문제를 해결하는 데 충분하며, 따라서 저에너지 상태 준비 문제는 FQMA의 전체 난이도를 포괄함을 보여준다.