[논문 리뷰] Cops, Robber and Medianwidth Parameters

Konstantinos S. Stavropoulos|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 22.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경로의 카티esian 곱에 등급적으로 통합 가능한 중앙값 그래프로 이루어진 중앙값 분해를 통해 정의된 새로운 그래프 파라미터인 $i$-latticewidth를 소개한다. 이는 경로폭에서 클리크 수로 수렴하는 계층을 형성한다. $i$-latticewidth는 $i$개의 경로 분해의 교차 크기의 최댓값으로 특성화되며, 상호 협력하는 은밀한 경비대가 $i$개 존재하는 일반화된 경비수비사자 게임과 직접적인 연결을 맺는다. 여기서 단조적인 승리 전략은 정확히 유계 $i$-latticewidth에 대응된다.

ABSTRACT

In previous work, we introduced median decompositions, a generalisation of tree decompositions where a graph can be modelled after any median graph, along with a hierarchy of $i$-medianwidth parameters $(mw_i)_{i\geq 1}$ starting from treewidth and converging to the clique number. We introduce another graph parameter based on the concept of median decompositions, to be called $i$-latticewidth and denoted by $lw_i$, for which we restrict the modelling median graph of a decomposition to be isometrically embeddable into the Cartesian product of $i$ paths. The sequence $(lw_i)_{i\geq 1}$ gives rise to a hierarchy of parameters starting from pathwidth and converging to the clique number. We characterise the $i$-latticewidth of a graph in terms of maximal intersections of bags of $i$ path decompositions of the graph. We study a generalisation of the classical Cops and Robber game, where the robber plays against not just one, but $i$ cop players. Depending on whether the robber is visible or not, we show a direct connection to $i$-medianwidth or $i$-latticewidth, respectively.

연구 동기 및 목표

• 중앙값 그래프로 분해된 그래프에 기반한 새로운 폭 파라미터인 $i$-latticewidth를 정의하고 연구한다. 이 중앙값 그래프들은 $i$개의 경로의 카티esian 곱에 등급적으로 통합 가능하다.
• 경로폭에서 시작하여 클리크 수로 수렴하는 파라미터의 계층을 수립한다. 이는 $i$-중앙값폭 계층과 유사하지만, 트리 대신 경로를 기반으로 한다.
• 그래프의 $i$개의 경로 분해에서의 최대 교차 크기로 $i$-latticewidth를 특성화한다.
• 은밀한 경비대가 $i$개의 협력 팀으로 구성된 일반화된 경비수비사자 게임을 제안하고, 단조적인 승리 전략이 정확히 $i$-latticewidth가 유계임을 보여준다.

제안 방법

• 그래프 $G$의 중앙값 분해가 존재하고, 이 중앙값 그래프가 $i$개의 경로의 카티esian 곱에 등급적으로 통합 가능하며, 모든 가방의 크기가 최대 $k$일 때, $i$-latticewidth $\operatorname{lw}_i(G)$를 그 최소값 $k$로 정의한다.
• $\operatorname{lw}_i(G)$가 $G$의 $i$개의 경로 분해에서의 $i$개의 정점 $u_j$에 대한 모든 $i$-튜플에 대해 $\bigcap_{j=1}^i Z_u^j$의 최대 크기와 정확히 일치함을 증명한다.
• 은밀한 경비대가 $i$개의 협력 팀으로 구성된 일반화된 경비수비사자 게임을 도입하며, 각 팀은 경로 분해 전략을 따르게 한다.
• $i$개의 은밀한 경비대 팀이 협력하여 최대 $k$의 협력을 통해 그래프를 단조적으로 탐색할 수 있을 때, 그리고 그 때에만 $\operatorname{lw}_i(G) \leq k$임을 보이며, 고전적 게임의 전략 변형을 활용한다.
• 중앙값 그래프의 볼록성과 지오데식 성질을 활용하여 분해 및 탐색 전략이 구조적 일관성을 유지함을 보장한다.
• 중앙값 그래프가 경로의 곱에 등급적으로 통합됨을 활용하여 게임의 역학을 그래프의 구조적 파라미터와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중앙값 분해의 개념을 $i$개의 경로 곱에 등급적으로 통합 가능한 중앙값 그래프로 제한하여 새로운 폭 파라미터를 정의할 수 있는가?
• RQ2 그래프의 다수의 경로 분해에 기반하여 $i$-latticewidth의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ3 은밀한 경비대가 $i$개의 협력 팀으로 구성된 일반화된 경비수비사자 게임을 통해 $i$-latticewidth를 게임 이론적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ4 고전적 경비수비사자 게임에서 단조 전략과 비단조 전략의 동치성은 $i=1$일 때만 성립하는가? 이는 $i>1$일 때에도 성립하는가?
• RQ5 $i$-latticewidth에 대해 방해 요소나 하위모듈러 함수를 식별할 수 있는가? 이는 트리폭과 경로폭에서의 브램블이나 연결성 함수의 역할을 반영하는가?

주요 결과

• $i$-latticewidth 파라미터 $\operatorname{lw}_i(G)$는 경로폭($\operatorname{pw}(G)+1$)에서 시작하여 클리크 수 $\omega(G)$로 수렴하는 비감소 계층을 이룬다.
• $i < i'$일 때, $i'$-latticewidth가 유계이지만 $i$-latticewidth가 무한대가 되는 그래프 클래스가 존재함을 보여, 이 계층이 뚜렷한 수준을 가짐을 입증한다.
• $\operatorname{lw}_i(G)$는 $G$의 $i$개의 경로 분해에서의 $i$개의 정점 $u_j$에 대한 모든 $i$-튜플에 대해 $\bigcap_{j=1}^i Z_u^j$의 최대 크기로 정확히 특성화된다.
• 그래프 $G$는 은밀한 경비대가 $i$개의 팀으로 구성되어 협력 최대 $k$를 허용할 때, 단조적으로 탐색 가능할 때이고, 그 때에만 $\operatorname{lw}_i(G) \leq k$임을 보여, 게임 이론적 특성화를 확립한다.
• 고전적 경비수비사자 게임에서 단조 전략과 비단조 전략의 동치성은 $i=1$일 때만 알려져 있으며, $i>1$일 때는 방해 요소나 하위모듈러성에 대한 정보가 아직 알려져 있지 않다.