[논문 리뷰] Coron problem for nonlocal equations invloving Choquard nonlinearity

Divya Goel, K. Sreenadh외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 22.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 40인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 내부 구멍이 충분히 작은 고리형 도메인에서 비국소 콘차르 방정식의 임계 하디–리틀우드–소볼레프 지수를 갖는 양의 고에너지 해의 존재성을 확립한다. 변분 방법, 포호자형 항등식 및 전역 컴팩턴스 보조정리를 사용하여, 변형 보조정리와 모순을 이용해 임계점을 증명하며, 도메인의 위상적 제약 조건을 활용한다.

ABSTRACT

We study the problem \[ -\De u = \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy ight)|u|^{2^*_μ-2}u, \; ext{in}\; \Om,\quad u = 0 \; ext{ on } \pa \Om , \] where $\Om$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N( N\geq 3)$, $2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$. we prove the existence of a positive solution of the above problem in an annular type domain when the inner hole is sufficiently small.

연구 동기 및 목표

• 비수축 가능한 도메인에서 비국소 방정식의 해 존재성 및 다중성에 대한 열린 문제를 다루는 것.
• 리프츠 잠재력과 하디–리틀우드–소볼레프 부등식을 포함하는 비국소 설정으로 코론의 고전적 결과를 비국소 방정식에 확장하는 것.
• 반공간에서 포호자 항등식과 전역 컴팩턴스 보조정리를 사용하여 콘차르 방정식의 비존재 결과를 확립하는 것.
• 내부 구멍이 작을 때 고리형 도메인에서 양의 고에너지 해의 존재를 위상적 및 변분적 논증을 통해 증명하는 것.

제안 방법

• 리프츠 잠재력을 포함하는 콘볼루션 형 비선형성을 갖는 임계 지수 $2^*_\mu = (2N - \mu)/(N - 2)$를 갖는 콘차르 방정식을 수립한다.
• 포호자 항등식을 사용하여 $\mathbb{R}^N_+$에서 해의 비존재를 증명하고, 존재를 위한 필요 조건을 확립한다.
• 유계 도메인에서 콘차르 방정식에 대한 전역 컴팩턴스 보조정리를 증명하며, $\mu > \min\{4, N\}$일 때 $C^2$ 정규성의 부족을 다루는 데 필수적이다.
• 연속적인 변형 사상 $D: \Sigma \times [0,1] \to \overline{\Omega}$를 사용하여 변형 보조정리와 모순 논증을 적용해 임계점을 탐지한다.
• 집중-콤팩턴스 원리를 적용해 수열의 약한 극한을 분석하고, 에너지가 도메인 내 한 점에 집중됨을 보여준다.
• 위상적 불변성 활용: $\Sigma$가 구이고 $D$가 수축일 경우 모순이 발생하며, 이는 임계점의 존재를 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 하디–리틀우드–소볼레프 지수를 갖는 콘차르 방정식은 비수축 가능한 도메인에서 양의 고에너지 해를 갖는가?
• RQ2 콘볼루션 비선형성을 갖는 비국소 방정식에 대한 코론 유형 문제는 변분적 및 위상적 방법을 통해 해결될 수 있는가?
• RQ3 고리형 도메인의 내부 구멍 크기가 고에너지 해의 존재성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 에너지 함수의 $C^2$ 정규성 부족은 콘차르 방정식의 존재 이론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 관련 에너지 범위에서 관련 함수에 대한 팔라이스–스말 조건을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 내부 구멍이 충분히 작을 때 고리형 도메인에서 콘차르 방정식에 양의 고에너지 해가 존재한다.
• 문제에 관련된 함수는 $\left(S_{H,L}, 2^{\frac{N-\mu+2}{2N-\mu}} S_{H,L}\right)$ 범위에서 팔라이스–스말 조건을 만족하며, 임계점 이론을 가능하게 한다.
• 하디–리틀우드–소볼레프 부등식에서 최적 상수 $S_{H,L}$는 극한에서 도달되며, 집중-콤팩턴스 원리에 의해 에너지가 도메인의 한 점에 집중됨을 확인한다.
• 변형 보조정리와 사상 $D$를 기반으로 한 모순 논증은 도메인의 위상적 성질(비수축성)이 임계점의 존재를 강제함을 보여준다.
• 해 $u$는 $C^2(\overline{\Omega}) \cap L^\infty(\Omega)$에 속하며, 최대원리에 의해 $\Omega$ 내에서 엄밀히 양수이다.
• 해의 에너지 수준은 $\frac{N - \mu + 2}{2(2N - \mu)} c^{\frac{2N - \mu}{N - \mu + 2}}$이며, 여기서 $c$는 수열 노름의 극한이다.