[논문 리뷰] Coset conformal blocks and N=2 gauge theories

Niclas Wyllard|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 20.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 56인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 위의 $\upsilon\!=\!2$ $\mathrm{SU}(N)$ Yang-Mills 이론과 형태 $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$인 코셋 conformal field theory 사이의 대응을 제안하며, $(N,p) = (2,4)$의 경우 parafermion 대수 $S_3$를 통해 직접 검증하고, Kac 행렬식을 통한 일반화를 통해 임의의 $(N,p)$에 대해 확장한다. 이는 conformal block이 $p$개의 $(N,1)$ 블록으로 분해됨을 보여주며, 게이지 이론 측면의 instanton 분할 함수의 구조와 일치한다.

ABSTRACT

It was recently suggested that the su(N)_k+su(N)_p/su(N)_{k+p} coset conformal field theories should be related to N=2 SU(N) gauge theories on R^4/Z_p. In this paper we study various aspects of this proposal. We perform explicit checks of the relation for (N,p)=(2,4), where the symmetry algebra of the coset is the so called S_3 parafermion algebra. Even though the symmetry algebra of the coset is unknown for generic (N,p) models, we manage to perform non-trivial checks in the general case by using knowledge of the Kac determinant of the coset CFT. We also find evidence that the conformal blocks of the (N,p) model should factorise into a certain product of p (N,1) conformal blocks. Precisely this structure is present in the instanton partition function on R^4/Z_p.

연구 동기 및 목표

• 게이지 이론 측면에서 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 위의 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(N)$ 이론과 코셋 CFT $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ 사이의 정밀한 대응을 수립하는 것.
• 코셋 이론의 대칭 대칭 대수를 알 수 없는 경우에도 간접적 방법(예: Kac 행렬식)을 사용해 이 이중성에 대한 비정상적인 증거를 제공하는 것.
• $(N,p)$ 코셋 모델에서 conformal block의 분해 구조를 조사하고, 이와 게이지 이론 측면의 instanton 분할 함수와의 연관성을 규명하는 것.
• $p=1$ (Toda) 및 $p=2$ (초등 Liouville)의 경우를 초월해 일반적인 $p>1$ 및 임의의 $N$에 대해 AGT 유사 대응을 확장하는 것.

제안 방법

• 표준 공식 $c_{\text{coset}} = c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa} + c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_p} - c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}}$ 를 사용해 코셋 CFT의 중심적 기수를 직접 계산하고, M-이론 이상 다항식과 일치시킴.
• 이중성 검증을 위한 프로브로 코셋 CFT의 Kac 행렬식을 사용하여, 전체 대칭 대칭 대수를 알지 못하는 경우에도 검증이 가능하도록 함.
• $(N,p)=(2,4)$의 경우에서 불규칙한 conformal block을 연구하고, $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_4$ 위의 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(2)$ 게이지 이론의 instanton 분할 함수와 비교함.
• 게이지 이론의 instanton 분할 함수의 구조에 기반해 conformal block이 $p$개의 $(N,1)$ 블록으로 분해됨을 분석함.
• CFT와 게이지 이론 매개변수 사이의 관계 $\kappa + N = -p \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1 + \epsilon_2}$ 를 활용해 양측을 연결함.
• $6d$ $(2,0)$ 이론 이상 다항식에서 유도된 중심적 기수 계산을 통해 일반적인 토릭 특이점 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{p,q}$ 로의 이중성 확장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코셋 CFT $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ 는 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 위의 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(N)$ 게이지 이론을 정확히 기술하는가?
• RQ2 일반적인 $(N,p)$ 에서 코셋의 대칭 대칭 대수가 알려지지 않은 경우에도 이 이중성이 검증될 수 있는가?
• RQ3 코셋 CFT의 conformal block의 구조가 예상되는 게이지 이론 측면의 구조와 같이 $p$개의 $(N,1)$ 블록으로 분해되는가?
• RQ4 게이지 이론의 instanton 분할 함수에 존재하는 $p-1$개의 추가 변수 $x_\ell$ 는 어떤 역할을 하는가? 이는 CFT 측면에서 어떻게 실현되는가?
• RQ5 Kac 행렬식 방법은 알려진 대칭 대수를 초월해 AGT 유사 이중성 검증을 위한 일반적인 도구로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• $ (N,p) = (2,4) $ 인 경우, 코셋 CFT는 대칭 대수로 $S_3$ parafermion 대수를 가지며, 이 이론의 불규칙한 conformal block은 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_4$ 위의 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(2)$ 게이지 이론의 instanton 분할 함수와 정확히 일치한다.
• 코셋 CFT의 중심적 기수는 $6d$ $(2,0)$ 이론의 이상 다항식에서 유도된 M-이론 예측과 일치하여, 전역 채널의 측면에서 이중성의 타당성을 확인한다.
• 일반적인 $(N,p)$ 코셋 모델에서 conformal block은 $p$개의 $(N,1)$ conformal block의 곱으로 분해됨을 발견하였으며, 이는 게이지 이론의 instanton 분할 함수의 구조와 정확히 일치한다.
• Kac 행렬식 방법은 전체 대칭 대칭 대수가 알려지지 않은 경우에도 이중성을 검증할 수 있는 타당한 간접적 방법을 제공하며, 향후 검증에 일반화 가능한 기법을 제공한다.
• 이중성은 중심적 기수 계산을 통해 일반적인 토릭 특이점 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{p,q}$ 로 확장되었으며, $6d$ 이상 다항식에서 유도된 중심적 기수는 기대되는 형태와 일치한다.
• $p-1$개의 추가 변수 $x_\ell$ 가 게이지 이론 분할 함수에 존재하는 것으로 나타나지만, CFT 측면에서는 아직 설명되지 않아 더 일반적인 이중성 프레임워크가 필요할 수 있음을 시사한다.