[논문 리뷰] Cost-Function-Dependent Barren Plateaus in Shallow Quantum Neural Networks.

M. Cerezo, Akira Sone외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 75

한 줄 요약

이 논문은 얕은 양자 신경망에서 비용 함수 선택이 학습 가능성에 결정적으로 영향을 미친다는 것을 증명한다: 전역 관측량은 기하급수적으로 감소하는 기울기를 유도하며(빈 테이블), 반면 국소 관측량은 회로 깊이가 O(log n)일 때는 다항식적으로만 기울기가 감소한다. 이는 변분 양자 알고리즘에서 국소성과 학습 가능성 사이의 직접적인 연결을 확립한다.

ABSTRACT

Variational quantum algorithms (VQAs) optimize the parameters $\boldsymbol{ heta}$ of a quantum neural network $V(\boldsymbol{ heta})$ to minimize a cost function $C$. While VQAs may enable practical applications of noisy quantum computers, they are nevertheless heuristic methods with unproven scaling. Here, we rigorously prove two results, assuming $V(\boldsymbol{ heta})$ is a hardware-efficient ansatz composed of blocks forming local 2-designs. Our first result states that defining $C$ in terms of global observables leads to an exponentially vanishing gradient (i.e., a barren plateau) even when $V(\boldsymbol{ heta})$ is shallow. This implies that several VQAs in the literature must revise their proposed cost functions. On the other hand, our second result states that defining $C$ with local observables leads to at worst a polynomially vanishing gradient, so long as the depth of $V(\boldsymbol{ heta})$ is $\mathcal{O}(\log n)$. Taken together, our results establish a connection between locality and trainability. Finally, we illustrate these ideas with large-scale simulations, up to 100 qubits, of a particular VQA known as quantum autoencoders.

연구 동기 및 목표

• 다양한 비용 함수 선택 조건 하에서 얕은 변분 양자 알고리즘(VQA)의 기울기 행동을 엄밀히 분석하기.
• 장비 효율적인 안사에 국소 2-디자인 블록이 포함된 경우 빈 테이블이 발생하는 조건을 규명하기.
• 비용 함수의 관측량의 국소성과 기울기의 스케일링 간 이론적 연결을 수립하기.
• 국소 관측량이 얕은 회로에서도 기울기 크기를 유지함을 증명함으로써, 학습 가능한 VQA의 설계를 이끌기.

제안 방법

• 랜덤 행렬 이론과 국소 2-디자인의 성질을 활용한 VQA에서 기울기 분산의 이론적 분석.
• 전역 관측량과 국소 관측량이라는 두 가지 비용 함수 유형에 따른 기울기 스케일링 행동 유도.
• 실제 양자 회로를 모델링하기 위해 장비 효율적인 안사와 국소 2-디자인을 형성하는 블록을 가정.
• 전역 관측량이 회로 깊이에 관계없이 기하급수적으로 감소하는 기울기를 유도함을 증명.
• 깊이가 O(log n)일 경우 국소 관측량이 최대 다항식적으로만 기울기가 감소함을 증명.
• 이론적 예측을 검증하기 위해 최대 100 큐비트의 양자 오토에인코더에서 대규모 시뮬레이션 수행.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얕은 VQA에서 비용 함수 선택이 기하급수적으로 감소하는 기울기(빈 테이블)를 유도하는가?
• RQ2 비용 함수에 국소 관측량을 사용하면 얕은 양자 회로에서 빈 테이블을 방지할 수 있는가?
• RQ3 국소 관측량과 전역 관측량을 사용할 경우 회로 깊이와 기울기 스케일링 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 특히 국소 2-디자인을 갖는 안사의 구조가 VQA에서 기울기 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 대규모 시뮬레이션은 기울기 스케일링에 대한 이론적 예측을 어느 정도 확인하는가?

주요 결과

• 전역 관측량을 비용 함수로 정의하면, 얕은 회로일지라도 기하급수적으로 감소하는 기울기가 발생하여 빈 테이블이 발생한다.
• 비용 함수에 국소 관측량을 사용할 경우, 회로 깊이가 O(log n)이면 기울기가 최대 다항식적으로만 감소한다.
• 이론적 분석을 통해 비용 함수의 국소성이 얕은 VQA에서 기울기를 유지하기 위해 필수적임을 증명한다.
• 결과적으로 기존의 전역 관측량을 사용하는 여러 VQA는 빈 테이블을 피하기 위해 비용 함수를 재고해야 할 것이다.
• 최대 100 큐비트의 양자 오토에인코더에서 수행한 대규모 시뮬레이션은 기울기 스케일링에 대한 이론적 예측을 확인한다.