[논문 리뷰] Counterexamples to Hochschild--Kostant--Rosenberg in characteristic $p$

Benjamin Antieau, Bhargav Bhatt외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 25.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정확한 반례를 구성하여 정수 $p$ 에서의 Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR) 스펙트럴 시퀀스의 분해가 성립하지 않음을 보이며, 완전체의 특성 $p$ 에서 차원 $2p$ 인 매끄럽고 사영인 대상에 대해 Hochschild 호모로지의 Hodge 분해가 실패함을 보여준다. 분류 스택 $B\mu_p$ 와 매끄럽고 사영인 대상의 근사치를 사용하여, HKR, de Rham–HP, 그리고 크리스탈린–TP 스펙트럴 시퀀스에서 비영인 미분이 존재함을 보이며, 비자명한 Brauer 클래스를 가진 왜곡된 설정에서도 마찬가지이다.

ABSTRACT

We give counterexamples to the degeneration of the HKR spectral sequence in characteristic $p$, both in the untwisted and twisted settings. We also prove that the de Rham--$\mathrm{HP}$ and crystalline--$\mathrm{TP}$ spectral sequences need not degenerate.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p>0$ 인 체 위의 매끄럽고 완전한 스킴에 대해 Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR) 스펙트럴 시퀀스가 $E_2$ 에서 분해되는지 조사하기.
• 특성 $p$ 에서, 특히 차원 $\geq p$ 인 다양체에 대해 Hochschild 호모로지의 Hodge 분해가 성립하는지 여부를 결정하기.
• Brauer 클래스를 통한 왜곡된 Hochschild 호모로지로의 분해 실패를 확장하고, de Rham–HP 및 크리스탈린–TP 스펙트럴 시퀀스로 확장하기.
• 분류 스택과 사영적 근사치를 사용하여, HKR 스펙트럴 시퀀스가 분해되지 않는 명시적 예를 구성하기.
• 특성 0과 달리, 특성 $p$ 에서 Hodge 코hom로지가 $\mathbb{P}^n$-_bundle 간의 비동형을 식별할 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• Hochschild 호모로지가 0차 수준에 농축되어 있지만 Hodge 코호모로지에서는 그렇지 않은 점을 활용하여, $B\mu_p$ 를 반례 모델로 사용하기.
• 특성 $p$ 인 완전체 $k$ 위의 유한하거나 기하학적으로 재조정 가능한 군 스킴 $G$ 에 대해, $BG$ 로 가는 매끄럽고 사영인 $k$-스킴 $X$ 가 존재하며, $s+t \leq d$ 차수에서 코호모로지의 당김 사상이 단사임을 증명하기.
• 군 스킴 몫으로부터 유도된 가능하게 특이한 완전 교차의 Hodge 코호모로지에 대해 약한 Lefschetz 정리의 형태 적용하기.
• Hochschild 호모로지의 $d_p$ 미분이 비영이 되는, 차원 $2p$ 인 매끄럽고 사영인 다양체 $X$ 의 명시적 예를 구성하기. 이는 $H^0(X, \Omega^1_{X/k}) \to H^p(X, \wedge^p L_{X/k})$ 가 영이 아님을 이용하여.
• 왜곡된 경우에 대해 Azumaya 대수와 Brauer 클래스 $\alpha$ 를 사용하여 왜곡된 Hochschild 호모로지 $\mathrm{HH}(X/k,\alpha)$ 를 정의하고, $d_2^\alpha$ 미분이 비영이 되는 예를 구성하기.
• Enriques 표면과 삼차원체 위의 Severi–Brauer 스킴 및 $\mathbb{P}^n$-_bundle 에 대해 분석하여, $\mathrm{dlog}$ 사상과 $\alpha$ 의 비자명성을 이용해 Hodge 코호모로지의 당김 사상이 단사가 아님을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p>0$ 인 체 위의 매끄럽고 완전한 스킴에 대해, HKR 스펙트럴 시퀀스가 $E_2$ 에서 분해되는가?
• RQ2 특성 $p$ 에서조차도 매끄럽고 사영인 다양체에 대해 Hochschild 호모로지의 Hodge 분해가 실패할 수 있는가?
• RQ3 de Rham–HP 및 크리스탈린–TP 스펙트럴 시퀀스는 특성 $p$ 에서 분해되는가?
• RQ4 Brauer 클래스를 통한 왜곡된 Hochschild 호모로지가 특성 $p$ 에서 비분해되는 HKR 스펙트럴 시퀀스를 보여줄 수 있는가?
• RQ5 특성 0과 달리, 특성 $p$ 에서 Hodge 코호모로지가 비동형인 $\mathbb{P}^n$-bundle 을 식별할 수 있는가?

주요 결과

• 완전체의 특성 $p$ 에서 차원 $2p$ 인 매끄럽고 사영인 스킴 $X$ 가 존재하며, 이 경우 HKR 스펙트럴 시퀀스의 $d_p$ 미분이 비영이므로 시퀀스는 분해되지 않는다.
• 특성 $p=2$ 에서, 고전적 Enriques 표면는 $\alpha$-왜곡된 HKR 스펙트럴 시퀀스에서 $d_2^\alpha$ 미분이 비영이 되는 매끄럽고 사전인 표면의 예를 제공한다.
• de Rham–HP 및 크리스탈린–TP 스펙트럴 시퀀스는 특성 $p$ 에서도 분해되지 않을 수 있으며, $H^*(\mathrm{TP}(X))$ 에서의 분할이 비분리된 것으로 나타난다.
• $p>2$ 인 특성 $p$ 에서, 매끄럽고 사전인 $X$ 에서 $\mathbb{P}^{p-1}$-bundle $P \to X$ 로의 Hodge 코호모로지 당김 사상이 단사가 아닐 수 있으며, 이는 Hodge 코호모로지가 $\mathbb{P}^n$-bundle 을 식별할 수 있음을 보여준다.
• $\mathrm{dlog}$ 사상은 코호모로지 당김 사상의 비단사성을 감지한다. 예를 들어, $H^2(X, \Omega^1_X) \to H^2(P, \Omega^1_P)$ 가 영이 되는 것은 $\alpha$ 가 $H^2(P, \mathbf{G}_m)$ 에서 소멸하기 때문이다.
• 특성 $p>0$ 에서, $\mathbb{P}^n$-bundle 의 Hodge 코호모로지는 일반적으로 기저 위의 자유 모듈이 아니며, 특성 0과 달리 $p \mid n+1$ 일 때 Leray–Hirsch 정리의 실패를 보여준다.