[논문 리뷰] Counting multiple graphs in generalized Turán problems

Dániel Gerbner|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 22.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 F-자유 그래프에서 여러 하위그래프를 동시에 세는 일반화된 투란 문제를 제안하며, 색이 없는 버전과 색이 있는 버전을 모두 고려한다. 삼각형이 없는 그래프에서, 매칭, 사이클, 경로와 같은 특정 하위그래프의 총 개수를 최대화하는 것은 투란 그래프 T₂(n)임을 증명하며, 일반화된 투란 문제와 버지 하이퍼그래프 문제에 대한 극값 결과를 확립한다.

ABSTRACT

We are given graphs $H_1,\dots,H_k$ and $F$. Consider an $F$-free graph $G$ on $n$ vertices. What is the largest sum of the number of copies of $H_i$? The case $k=1$ has attracted a lot of attention. We also consider a colored variant, where the edges of $G$ are colored with $k$ colors. What is the largest sum of the number of copies of $H_i$ in color $i$? Our motivation to study this colored variant is a recent result stating that the Turán number of the $r$-uniform Berge-$F$ hypergraphs is at most the quantity defined above for $k=2$, $H_1=K_r$ and $H_2=K_2$. In addition to studying these new questions, we obtain new results for generalized Turán problems and also for Berge hypergraphs.

연구 동기 및 목표

• F-자유 그래프에서 단 하나의 하위그래프가 아니라 여러 하위그래프 H₁,…,Hₖ를 동시에 세는 방식으로 일반화된 투란 문제를 확장하는 것.
• 에지에 색을 칠하고 각 색상별로 하위그래프 수를 집계하는 색이 있는 변형을 제안하며, 버지 하이퍼그래프와의 연결성에 기반한다.
• F-자유 그래프에서 하위그래프 가족의 총 복제 수를 최대화하는 투란 그래프 T_{r}(n)가 언제 성립하는지 규명하는 것.
• 삼각형이 없는 그래프에서 매칭, C₅, P₅, K₂,₃, C₄′ 등의 특정 하위그래프에 대해 극값 결과를 확립하는 것.
• 삼각형이 없는 상황에서 특정 그래프 가족에 대해 투란 그래프 T₂(n)가 하위그래프 수의 합을 최대화함을 증명하는 것.

제안 방법

• F-자유 n-정점 그래프 G에서 하위그래프 수의 합 ∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G)의 최댓값으로서, 색이 없는 극값 함수 ex(n, (H₁,…,Hₖ), F)를 정의한다.
• 에지에 색을 칠하고 각 색상별로 수를 집계하는 색이 있는 변형인 ex^col(n, (H₁,…,Hₖ), F)를 도입하며, Gᵢ는 색 i의 에지로 이루어진 부분그래프이다.
• 이중 세기와 극값 그래프 이론 기법을 사용하며, 특히 브로이어의 정리에 의해 비이분할 및 이분할 부분그래프의 에지 집합을 근사한다.
• 도수 기반의 수세기 방법을 적용: 차수 d인 정점 v에 대해, 나머지 n−1 또는 n−2개 정점에서의 에지 및 정점 선택을 고려하여 v를 포함하는 하위그래프 수를 근사한다.
• 임의의 F-자유 그래프 G와 투란 그래프 T₂(n)의 수를 비교하여, 정점별 극값 논증을 통해 G의 수가 T₂(n)의 수 이하임을 보인다.
• 이론적으로 알려진 결과, 예를 들어 비이분할 그래프의 에지 수에 대한 브로이어의 경계와 삼각형이 없는 그래프의 도수 제약 조건을 활용하여 상한을 정밀화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형이 없는 그래프에서 투란 그래프 T₂(n)가 여러 하위그래프 H₁,…,Hₖ의 총 복제 수를 언제 최대화하는가?
• RQ2 색이 있는 변형된 일반화된 투란 문제와 버지 하이퍼그래프 사이의 관계는 무엇이며, 특히 k=2, H₁=K_r, H₂=K₂인 경우 어떻게 되는가?
• RQ3 C₅, M(5정점 매칭), M′(삼각형이 포함된 5정점 매칭), P₅, K₂,₃ 등의 하위그래프에 대해, 삼각형이 없는 그래프에서 T₂(n)가 극값 수를 달성할 수 있는가?
• RQ4 점근적 성장과 극값 그래프 측면에서, 일반화된 투란 문제의 색이 없는 버전과 색이 있는 버전 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 각 개별 하위그래프 Hᵢ에 대해 극값 그래프가 F-자유 그래프에서 ∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G)의 합까지 최대화하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 가족 T = {M, M′, C₄′, P₅, K₂,₃, C₅}에 대해, 투란 그래프 T₂(n)는 삼각형이 없는 모든 n-정점 그래프 중에서 복제 수의 총합을 최대화하며, 즉 ex(n, T, K₃) = 𝒩(T; T₂(n))이다.
• 어느 삼각형이 없는 그래프 G에서 M과 C₅의 복제 수는 T₂(n)의 복제 수 이하이며, 도수 및 에지 수 제약 조건을 활용한 정점별 수세기 및 비교를 통해 이를 증명한다.
• 어느 삼각형이 없는 그래프 G에서 M′과 C₅의 복제 수 역시 T₂(n)의 복제 수 이하이며, 이 증명은 잔여 그래프가 비이분할이거나 최소 도수 값이 낮을 경우 정밀한 경계를 적용한 데 기반한다.
• 색이 있는 변형 ex^col(n, (H₁,…,Hₖ), F)는 ex(n, Hᵢ, F)와 ∑ᵢ ex(n, Hᵢ, F) 사이에 경계가 있으며, 두 변형 모두 Θ(maxᵢ ex(n, Hᵢ, F))이다.
• 각 Hᵢ가 클리크 또는 완전 다중분할 그래프일 경우, F-자유 그래프에서 ∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G)의 극값 그래프는 완전 (ℓ−1)-분할 그래프이며, 단일 하위그래프에 대한 기존 결과를 일반화한다.
• 각 개별 Hᵢ가 삼각형이 없는 그래프에서 T₂(n)에 의해 최대화되는 하위그래프 가족에 대해 결과가 확장되며, 이는 합 역시 T₂(n)에 의해 최대화됨을 의미한다.