[논문 리뷰] Counting Reducible Matrices, Polynomials, and Surface and Free Group Automorphisms

Igor Rivin|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 23.

Finite Group Theory Research참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대수기하학과 확률적 방법을 사용하여 ℤ와 𝔽_p 위에서 약분 가능한 다항식 및 특성다항식이 약분 가능한 행렬의 수에 대한 상계를 설정한다. 그들은 호모로지에 대한 그들의 작용을 분석하고, 제거 이론과 Weil 추정을 적용하여 표면의 매핑 클래스 군의 임의의 원소와 자유군의 임의의 자기동형사상이 거의 확실히 페도-아노소프 또는 강력하게 기약임을 보여준다.

ABSTRACT

We give upper bounds on the numbers of various classes of polynomials reducible over the integers and over integers modulo a prime and on the number of matrices in SL(n), GL(n) and Sp(2n) with reducible characteristic polynomials, and on polynomials with non-generic Galois groups. We use our result to show that a random (in the appropriate sense) element of the mapping class group of a closed surface is pseudo-Anosov, and that a random automorphism of a free group is strongly irreducible (aka irreducible with irreducible powers). We also give a necessary condition for all powers of an algebraic integers to be of the same degree, and give a simple proof (in the Appendix) that the distribution of cycle structures modulo a prime p for polynomials with a restricted coefficient is the same as that for general polynomials.

연구 동기 및 목표

• ℤ와 유한체 위에서 약분 가능한 다항식 및 특성다항식이 약분 가능한 행렬의 점점 증가하는 조밀도를 결정하는 것.
• 폐쇄 표면의 매핑 클래스 군의 임의의 원소가 페도-아노소프일 확률을 조사하는 것.
• 특히 S_d가 계수의 비율이 높아질수록 1에 수렴함을 보여주는, 제한된 계수를 가진 랜덤 행렬과 다항식의 갈루아 군 분포를 분석하는 것.
• 자유군의 랜덤 자기동형사상이 강력하게 기약임(기약이면서 모든 거듭제곱도 기약임)임을 증명하는 것.
• 제한된 계수를 가진 다항식의 순환 구조 분포가 제한이 없는 다항식과 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 고정된 차수의 인수를 가진 다항식의 집합이 아핀 초곡면에 포함됨을 보이기 위해 제거 이론을 사용하여 성장률을 추정한다.
• Lang-Weil 정리를 적용하여 다양체 위의 𝔽_p 점의 수를 유계로 만들며, m차원 다양체에 대해 O(p^m) 성장률을 도출한다.
• 절대적으로 기약인 곡선 위의 𝔽_p 점의 수에 대한 Weil의 추정을 사용하여 함수 방정식의 해의 수를 통제한다.
• van der Waerden의 선형 체계와 산술급수에 대한 Dirichlet 정리를 사용하여 계수의 bound가 클수록 갈루아 군 S_d가 지배함을 보인다.
• 계수의 x^{d-1} 항이 0이 아닐 조건에서, 애매한 변환의 군 작용을 다항식에 적용하여 궤도 내에서 분할 유형 분포를 동일시한다.
• 정리 30(다항식 X^n - a의 기약성에 관한)과 보조정리 31(선형 치환 하에서 순열 제약 조건에 관한)을 활용하여 예외적인 경우를 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수의 절댓값이 B 이하인 ℤ 위에서 차수 d의 모닉 다항식 중 약분 가능한 것들의 점점 증가하는 조밀도는 무엇인가?
• RQ2 계수의 높이에 따라 SL(n, ℤ) 내에서 특성다항식이 약분 가능한 행렬의 수는 어떻게 증가하는가?
• RQ3 폐쇄 표면의 매핑 클래스 군의 임의의 원소가 페도-아노소프일 확률은 무엇인가?
• RQ4 제한된 계수를 가진 다항식의 갈루아 군 분포는 어떻게 되며, S_d로 수렴하는가?
• RQ5 자유군의 임의의 자기동형사상은 거의 확실히 강력하게 기약인가(즉, 기약이면서 모든 거듭제곱도 기약인가)?

주요 결과

• 계수의 절댓값이 B 이하인 ℤ 위에서 차수 d의 모닉 다항식 중 약분 가능한 것의 수는 O(B^{d-1}) 이하로 증가하며, 이는 약분 가능한 다항식이 희박함을 시사한다.
• 큰 소수 p에 대해, 상수항이 1인 다항식의 p를 모듈로 한 순환 구조 분포는 차수 d의 모든 다항식과 일치한다. 이는 d < p일 때 성립한다.
• GL(N, ℤ) 내의 랜덤 행렬의 갈루아 군은 거의 확실히 전체 대칭군 S_N이며, 계수의 bound N → ∞일 때 확률은 1에 수렴한다.
• GL(N, ℤ) 내의 랜덤 행렬의 모든 거듭제곱도 갈루아 군이 S_N이며, 확률은 1에 수렴한다.
• 종수 g인 폐쇄 표면의 매핑 클래스 군의 랜덤 원소는 단어 길이가 증가함에 따라 페도-아노소프일 확률이 1에 수렴한다.
• 자유군의 랜덤 자기동형사상은 거의 확실히 강력하게 기약이다(기약이면서 모든 거듭제곱도 기약이다).