[논문 리뷰] Counting the occurrences of generalized patterns in words generated by a morphism

Sergey Kitaev, Toufik Mansour|ArXiv.org|2002. 10. 11.

semigroups and automata theory참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 멘지드 시퀀스의 유한 근사에서 일반화된 순열 패턴—예를 들어 1-2, 2-1, 123, 및 1-1-...-1—의 발생 횟수를 세는 방법을 개발한다. 예를 들어 1→123, 2→13, 3→2와 같은 멘지즘 기반 반복적 구성(예: 1→123, 2→13, 3→2)을 사용하여 저자들은 패턴 수에 대한 정확한 공식을 유도한다. 예를 들어, n번째 반복에서 1-2 패턴의 수는 $3 ⋅ 4^{n-1} + 2^n$임을 보여준다. 주요 기여는 구조적 분해와 재귀 관계를 통해 멘지드 단어에서 패턴 발생 횟수를 체계적으로 세는 프레임워크를 수립한 것이다.

ABSTRACT

We count the number of occurrences of certain patterns in given words. We choose these words to be the set of all finite approximations of a sequence generated by a morphism with certain restrictions. The patterns in our considerations are either classical patterns 1-2, 2-1, 1-1-...-1, or arbitrary generalized patterns without internal dashes, in which repetitions of letters are allowed. In particular, we find the number of occurrences of the patterns 1-2, 2-1, 12, 21, 123 and 1-1-...-1 in the words obtained by iterations of the morphism 1->123, 2->13, 3->2, which is a classical example of a morphism generating a nonrepetitive sequence.

연구 동기 및 목표

• 멘지드 시퀀스의 유한 근사에서 일반화된 순열 패턴의 발생 횟수를 세는 방법을 개발하기 위해.
• 고전적 패턴 세기 기법을 내부 하이픈이 없고 반복 문자를 포함하는 일반화된 패턴으로 확장하기 위해.
• 예를 들어 1→123, 2→13, 3→2에 의해 생성되는 비반복 시퀀스와 같은 특정 멘지드 시퀀스에서 패턴 수에 대한 정확한 닫힌 형식 공식을 제공하기 위해.
• 외부 패턴 발생을 제거할 수 있는 조건을 설정하여, 구조적 분해를 통한 재귀적 세기 가능성을 보장하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 유한 알파벳 위에서 멘지즘을 정의하고, 고정점의 반복을 통해 단어를 생성하며, 주로 $\phi^n(1)$ 형태의 유한 근사에 집중한다.
• 그들은 멘지즘의 영상 내 부분단어 $X_i$와 $X_j$ 사이에서 패턴 $\tau$의 외부 발생 개념을 도입한다.
• 내부 하이픈이 없는 패턴의 경우, 재귀 관계를 유도한다: $N^\tau_\phi(n) = (d + \ell)^{n-2} \sum_{i=1}^k s_i$ ($n \geq 2$), 여기서 $s_i$는 $X_i$ 내부의 내부 발생 수이며, $d, \ell$는 멘지즘의 구조에서 유도된 매개변수이다.
• 각 부분단어가 반복된 영상에 얼마나 자주 나타나는지에 기반한 조합론적 추론을 사용하며, 패턴 위치 선택에 이항계수를 활용한다.
• 이 방법은 특정 부분단어 쌍 간에 외부 패턴 발생이 없음을 확인하는 데 의존하며, 이는 재귀 관계가 성립함을 보장한다.
• 예시를 통해 방법을 검증하며, 예를 들어 멘지즘 $\phi_w: 1\to123, 2\to13, 3\to2$를 사용하고 12, 123, 21와 같은 패턴에 대해 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 멘지드 시퀀스의 유한 근사에서 일반화된 패턴의 발생 횟수를 어떻게 세는가?
• RQ2 멘지드 단어에서 패턴 발생 횟수를 재귀 관계로 세는 데 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 비반복 시퀀스를 생성하는 고전적 멘지즘(1→123, 2→13, 3→2)에서 n번째 반복에서 1-2 패턴 발생 횟수는 정확히 얼마인가?
• RQ4 외부 발생이 세기 과정을 복잡하게 만들더라도, 이 방법을 123 또는 21와 같은 패턴에 적용할 수 있는가?
• RQ5 부분단어 구조와 멘지즘 매개변수(예: $d$, $\ell$)는 패턴 발생 횟수의 증가율에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 멘지즘 $\phi_w$의 n번째 반복에서 1-2 패턴 발생 횟수는 $3 \cdot 4^{n-1} + 2^n$이다.
• 패턴 12(즉, 상승)의 발생 횟수는 $n \geq 2$일 때 $\phi_w^n(1)$에서 $3 \cdot 2^{n-2}$이며, $n=1$일 때는 2건이다.
• $\phi_w^n(1)$에서 123 패턴 발생 횟수는 $n \geq 2$일 때 $2^{n-2}$이며, $n=1$일 때는 0이다.
• $\phi_w^n(1)$에서 21 패턴 발생 횟수(내림)는 총 길이에서 상승 수와 1을 뺀 값인 $3 \cdot 2^{n-2} - 1$이다.
• 패턴 $1\mbox{-}1\mbox{-}1\mbox{-}1$의 발생 횟수는 $n \geq 3$일 때 $\phi_w^n(1)$에서 $3 \cdot \binom{2^{n-1}}{4}$이며, $n=1,2$일 때는 0이다.
• 외부 발생이 없을 경우 일반화된 패턴(내부 하이픈이 없는 경우)에 대해 이 방법은 멘지즘 영상의 각 부분에서 내부 패턴 수의 합에 기반한 재귀 관계를 도출한다.