[논문 리뷰] Crack initiation in elastic bodies

Antonin Chambolle, Alessandro Giacomini외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 10. 27.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 균일한 등방성 재료와 같이 강한 특이성이 없는 물체에서, 그라프의 에너지를 기반으로 한 초탄성체의 균열 기초를 폭력적으로 발생시킨다—즉, 양의 시간 이후에 급격히 큰 균열이 생긴다. 반면, 강한 특이성이 존재하는 점에서는 시간 0에 즉시 균열이 발생하며, 속도는 0이다. 이 결과는 유한한 개수의 구성 요소를 가진 모든 닫힌 1차원 균열에 대해 적용되며, 부피 에너지와 표면 에너지 항을 포함하는 자유 불연속 에너지 함수에 대한 局부 최소성 원리를 사용한다.

ABSTRACT

In this paper we study the crack initiation in a hyper-elastic body governed by a Griffith's type energy. We prove that, during a load process through a time dependent boundary datum of the type $t o t g(x)$ and in absence of strong singularities (this is the case of homogeneous isotropic materials) the crack initiation is brutal, i.e., a big crack appears after a positive time $t_i>0$. On the contrary, in presence of a point $x$ of strong singularity, a crack will depart from $x$ at the initial time of loading and with zero velocity. We prove these facts (largely expected by the experts of material science) for admissible cracks belonging to the large class of closed one dimensional sets with a finite number of connected components. The main tool we employ to address the problem is a local minimality result for the functional $$ \Es(u,Γ):=\int_\Om f(x, abla v) dx+k\hu(Γ), $$ where $Ω\subseteq \R^2$, $k>0$ and $f$ is a suitable Carathéodory function. We prove that if the uncracked configuration $u$ of $\Om$ relative to a boundary displacement $ψ$ has uniformly weak singularities, then configurations $(u_Γ,Γ)$ with $\hu(Γ)$ small enough are such that $\Es(u,\emptyset)

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 하중 조건 하에서 탄성체의 균열 기초를 변분 프레임워크를 사용해 엄밀히 분석하는 것.
• 예비 균열이 존재하지 않을 경우 균열 기초가 점진적인지 급격한지에 대한 오랫동안 놓여진 문제를 해결하는 것.
• 예비 균열이 없는 상황에서 고전적 그라프 기준이 기초를 예측하지 못함을 입증하는 것.
• 특성 특이성이 약할 경우(예: 균일한 등방성 재료에서), 균열 기초가 급격히 발생함(즉, 양의 시간 후에 발생)함을 증명하는 것.
• 프랑코르-마리고 변분 모델을 일반적인 허용 가능한 균열 클래스에 포함하여 폭력적 균열 기초를 확장하는 것.

제안 방법

• 균열 $ \Gamma $ 에 대한 부피 탄성 에너지와 표면 에너지 항을 포함하는 에너지 함수 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) = \int_\Omega f(x,\nabla u)\,dx + k\mathcal{H}^1(\Gamma) $ 의 수식화.
• 약한 특이성이 존재할 경우, 작은 균열이 총 에너지를 증가시킴을 보이기 위해 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ 의 국소 최소성 결과를 사용.
• 높이 함수가 유계이고 리프시츠 연속인 영역에서의 균일한 피앙카레 및 피앙카레-코른 부등식의 적용.
• 모순에 의한 증명: 작은 균열에 대해 에너지 감소를 가정하면, $ H^1 $ 에서 약한 수렴성과 컴팩턴스를 통해 모순이 발생함.
• 수직이 아닌 방향을 포함한 다중 방향의 선을 따라 적분하여 변위 기울기의 모든 성분을 제어.
• 닫힌 집합이며 유한한 개수의 구성 요소를 가진 허용 가능한 균열의 클래스의 컴팩턴스를 활용하여 균일한 추정치를 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 하중 조건 하에서 예비 균열이 없는 경우, 균열 기초는 점진적인지 급격한지인가?
• RQ2 예비 균열이 처음부터 존재하지 않을 경우, 고전적 그라프 기준은 균열 기초를 예측할 수 있는가?
• RQ3 재료의 특이성—특히 강한 특이성과 약한 특이성—은 균열 기초의 시기와 성격에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 프랑코르-마리고 변분 모델은 사전에 균열 경로를 가정하지 않고 폭력적 균열 기초를 포괄할 수 있는가?
• RQ5 에너지 함수 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ 가 작은 균열에 대해 미리 정의된 비균열 상태에서 국소적으로 최소화되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 균일한 등방성 재료에서 균열 기초는 폭력적이다: 큰 균열이 양의 시간 $ t_i > 0 $ 이후에 급격히 나타나며, 점진적으로 발생하지는 않는다.
• 약한 특이성(예: 균일한 재료)이 존재할 경우, 유한한 구성 요소를 가진 모든 작은 균열에 대해 에너지 함수 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ 는 비균열 상태에서 최소화된다.
• 반면, 강한 특이성이 존재하는 점에서는 $ t = 0 $ 에 즉시 균열이 발생하며, 속도는 0이다.
• 결과는 매끄럽거나 사전에 경로가 정의된 바 없이, 유한한 연결 성분을 가진 모든 닫힌 1차원 집합 $ \Gamma $ 에 대해 적용된다.
• 유계이고 리프시츠 연속인 높이 함수를 가진 영역의 집합에 대해 균일한 피앙카레 및 피앙카레-코른 부등식을 근거로 한 증명.
• 고전적 그라프 기준이 $ l_0 = 0 $ 인 경우에 에너지 감소를 암시하지만, 이는 0임을 보여주어 그 기준이 기초 예측에 사용될 수 없음을 입증한다.