[논문 리뷰] Critical growth fractional elliptic problem with singular nonlinearities

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 25.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 19인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 분수계 미분형식 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$ 를 포함하는 임계 성장과 특이 비선형성을 갖는 분수계 타원형 방정식에 대한 양해의 존재성과 다중성을 조사한다. 변분 방법과 네하리 만델라 분석을 통해, 적절한 가중 함수 $a(x)$ 와 지수 $q \in (0,1]$ 에 대한 조건 하에서 충분히 작은 $\lambda > 0$ 에 대해 최소 두 개의 양해를 확보한다. 이 결과는 $q=1$ 인 경우에도 새로이 발견된 것이다. 주요 기여는 해의 두 개의 임계점이 존재하는 최대 범위의 $\lambda$ 에서의 정밀한 다중성 결과이다.

ABSTRACT

In this article, we study the following fractional Laplacian equation with critical growth and singular nonlinearity $$\quad (-Δ)^s u = λa(x) u^{-q} + u^{2^*_s-1}, \quad u>0 \; ext{in}\; Ω,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mathbb{R}^n \setminusΩ,$$ where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^n$ with smooth boundary $\partial Ω$, $n > 2s,\; s \in (0,1),\; λ>0,\; 0 < q \leq 1 $, $θ\leq a(x) \in L^\infty(Ω)$, for some $θ>0$ and $2^*_s=\frac{2n}{n-2s}$. We use variational methods to show the existence and multiplicity of positive solutions of the above problem with respect to the parameter $λ$.

연구 동기 및 목표

• 분수계 타원형 문제에 대한 양해의 존재성과 다중성을 연구한다. 비선형성은 $\lambda a(x)u^{-q}$ 와 임계 성장 $u^{2^*_s-1}$ 을 포함한다.
• 지역적 설정에서의 변분 기법을 분수계 라플라스 연산자에 특이성과 임계 항을 포함한 비국소적 설정으로 확장한다.
• 네하리 만델라와 섬유화 맵의 구조 분석을 통해 정밀한 다중성 결과를 확립한다.
• 해의 정규성, 즉 $u \in L^\infty(\Omega)$ 와 $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ 를 증명한다. 여기서 $\alpha \in (0,s]$ 이다.
• 특이성과 임계 성장이 있는 분수계 설정에서의 임계 성장 문제에 대한 존재성과 다중성의 완전한 프레임워크를 제공하여 문헌의 빈자리 메운다.

제안 방법

• 분수계 스오보레프 공간 $X_0$ 에서 문제를 수립한다. 이 공간의 노름은 $\|u\|_{X_0} = \|u\|_{L^2(\Omega)} + [u]_X$ 로 정의되며, 여기서 $[u]_X$ 는 가가르도 반노름이다.
• 에너지 함수 $J(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{X_0}^2 - \frac{\lambda}{1-q}\int_\Omega a(x)u^{1-q}dx - \frac{1}{2^*_s}\int_\Omega u^{2^*_s}dx$ 를 정의한다. $q \in (0,1)$ 인 경우 이를 사용하여 약한 해를 임계점 이론을 통해 연구한다.
• 에너지 함수의 임계점을 식별하기 위해 네하리 만델라 $\mathcal{N}_\lambda = \{u \in X_0 \setminus \{0\} : \langle J'(u), u \rangle = 0\}$ 을 분석한다.
• 섬유화 맵 분석을 통해 작은 $\lambda$ 에 대해 섬유화 맵이 두 개의 서로 다른 임계점을 가짐을 보이고, 이는 두 개의 서로 다른 해를 의미함을 밝힌다.
• 균일 추정과 모저 반복 기법을 적용하여 해의 $L^\infty$-정규성을 증명함으로써 $u \in L^\infty(\Omega)$ 를 도출한다.
• 문헌 [22] 의 정리와 커버링 추론 기법을 사용하여 국소 하올더 정규성 $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ 를 $\alpha \in (0,s]$ 에 대해 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이성과 임계 비선형성을 갖는 분수계 타원형 문제에 대해, 어떤 조건 하에서 최소 두 개의 양해를 가질 수 있는가?
• RQ2 네하리 만델라와 섬유화 맵의 구조는 임계 성장 경우의 해의 다중성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 지역적 설정에서 사용된 변분 접근법은 특이 항을 포함한 비국소적 분수계 라플라스 연산자로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ4 여러 해가 존재하는 최적의 $\lambda$ 범위는 무엇이며, 이 범위는 최대인가?
• RQ5 이러한 특이-임계 설정에서의 약한 해는 어떤 정규성 성질(예: $L^\infty$, 하올더 연속성)을 갖는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $\lambda > 0$ 에 대해, 문제는 최소 두 개의 서로 다른 양해 약한 해를 갖는다. 이는 네하리 만델라와 섬유화 맵 분석을 통해 확립된다.
• 다중성 결과는 정밀하다: 섬유화 맵 상에서 두 개의 임계점이 존재하는 $\lambda$ 의 범위는 최대 범위이다.
• 해는 $L^\infty(\Omega)$ 에 속한다. 이는 모저 반복 기법과 잘라낸 시험 함수에 대한 균일 추정을 통해 증명된다.
• 해는 국소 하올더 연속성: $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ 를 만족한다. 여기서 $\alpha \in (0,s]$ 이다.
• 결과는 $q = 1$ 인 경우에도 새로이 발견된 것으로, 기존의 지역적 결과를 비국소적 분수계 설정으로 확장한다.
• 네하리 만델라 상에서의 최소화자 존재는 해의 다중성 증명에 핵심적이다.