[논문 리뷰] Crossed product by an arbitrary endomorphism

B. K. Kwaśniewski, А. В. Лебедев|ArXiv.org|2007. 03. 27.

Analytical Chemistry and Chromatography인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 내형사상이 갖추어진 유일한 C*-대수에 대해 일반화된 교차곱 구성을 도입한다. 이는 보편 교차곱이 대수와 내형사상 외에도 내형사상의 핵에 대해 수직인 선택된 이상적에 의존한다는 것을 보여준다. 주요 기여는 대수적 구조에 대한 행렬 계산법과 노름 평가법으로, 이는 $C^*$-대수적 교차곱 $C^*(\mathcal{A}, \delta, J)$의 정의를 가능하게 하며, 특정 공변 조건을 만족할 경우 표현의 충실성을 보여주는 동형정리가 제시된다.

ABSTRACT

Starting from an arbitrary endomorphism δof a unital C*-algebra A we construct a crossed product. It is shown that the natural construction depends not only on the C*-dynamical system (A,δ) but also on the choice of an ideal J orthogonal to Ker δ.

연구 동기 및 목표

• 유일한 C*-대수의 자명한 내형사상으로부터 교차곱 구성법을 일반화한다.
• 내형사상에 의한 교차곱 정의의 기초적 문제를 해결한다. 특히 역원이 없고, 시행 단위원에 대한 관계 선택이 어려운 점을 다룬다.
• 보편 교차곱이 $\mathcal{A}$와 $\delta$ 외에도 $\ker \delta$에 대해 수직인 보조 이상적 $J$의 선택에 의존한다는 것을 보여준다.
• 교차곱의 대수적 구조에 대한 행렬 계산법과 노름 평가법을 제공한다.
• 특정 공변 조건을 만족할 경우 표현의 충실성을 특징짓는 동형정리에 의해 보편 성질을 확립한다.

제안 방법

• C*-역동계 $(\mathcal{A}, \delta)$의 공변 표현을 비퇴화적이며 충실한 표현 $\pi$와 조건 $U\pi(a)U^* = \pi(\delta(a))$ 및 $U^*U \in \pi(\mathcal{A})'$ 를 만족하는 부분등위사상 $U$로 구성된 삼중체 $(\pi, U, H)$로 정의한다.
• 서로 수직인 이상적의 개념을 도입하고, 이로 정의되는 이상적 $J$에 의해 공변 표현을 분류한다. 이 $J$ 는 $\ker \delta$ 와 수직이다.
• 계수들이 $\mathcal{A}$에 속하는 형식적 로랑 급수의 $*$-대수 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$를 구성하고, $a^{(k)} \star b^{(l)} = \Phi_{(\pi,U)}(a^{(k)}) \cdot \Phi_{(\pi,U)}(b^{(l)})$ 로 정의되는 콘볼루션 곱 $\star$ 를 부여한다.
• 표현 $\Phi_{(\pi,U)}$ 를 사용하여 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 위에 반노름 $||\cdot||_J$ 를 정의하고, 이를 완비화하여 몫 $\mathcal{M}(\mathcal{A}) / ||\cdot||_J$ 의 엄폐 $C^*$-대수로서 교차곱 $C^*(\mathcal{A}, \delta, J)$ 를 구성한다.
• 교차곱의 대수적 구조에 대한 행렬 계산법을 수립하고, 계수들이 $\mathcal{A}$에 속하는 정수 차수의 합으로 표현되는 원소들을 기술하며, 노름의 하향 곱법 성질을 증명한다.
• 동형정리(정리 5.1)를 증명하여, 동일한 이상적 $J$ 와 특정 공변 조건 $(*)$ 을 만족하는 두 공변 표현이 그들의 이미지로 생성하는 $C^*$-대수들이 서로 동형임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내형사상에 대해 역원이 없기 때문에, 보편적으로 교차곱을 $C^*$-대수와 임의의 내형사상에 대해 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 보편 교차곱의 구성이 $C^*$-대수와 내형사상 외에도 $\ker \delta$ 에 대해 수직인 보조 이상적 $J$ 에 의존하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 내형사상이 자명한 내형사상이 아닐 경우, 교차곱의 배경이 되는 대수적 및 노름적 구조는 무엇인가?
• RQ4 충실한 표현을 정의하기 위해 기저가 되는 공변 표현의 관계는 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ5 스펙트럼 분해에 의한 $\overline{B}_k$ 부분공간의 역할은 교차곱의 구조에서 어떤 기능을 하는가?

주요 결과

• 교차곱 $C^*(\mathcal{A}, \delta, J)$ 는 $||\cdot||_J$ 라는 반노름을 갖는 몫 $\mathcal{M}(\mathcal{A}) / ||\cdot||_J$ 의 엄폐 $C^*$-대수로 정의되며, 이 반노름은 $\ker \delta$ 에 대해 수직인 이상적 $J$ 와 관련된 공변 표현에서 유도된다.
• 구성은 $J$ 의 선택에 의존하므로, 동일한 $(\mathcal{A}, \delta)$ 에서도 $J$ 의 선택에 따라 서로 동형이 아닌 여러 교차곱이 유도될 수 있음을 보여준다.
• 교차곱의 원소들을 형식적 로랑 급수로 기술하는 행렬 계산법이 개발되었으며, 계수들은 $\mathcal{A}$ 에 속하고 콘볼루션 곱 $\star$ 는 표현 $\Phi_{(\pi,U)}$ 를 통해 정의된다.
• 곱의 노름은 $||a \star b|| \leq ||a|| \cdot ||b||$ 를 만족하며, 이는 반노름 $||\cdot||_J$ 가 하향 곱법 성질을 갖음을 보여주고, 따라서 몫 대수가 잘 정의된 $*$-대수이자 $C^*$-노름을 갖는다는 것을 증명한다.
• 동형정리(정리 5.1)는 동일한 이상적 $J$ 와 조건 $(*)$ 을 만족하는 두 공변 표현이 그들의 이미지로 생성하는 $C^*$-대수들이 서로 동형임을 보여주며, 이는 보편적 특성을 제공한다.
• 교차곱의 스펙트럼 부분공간 $\overline{B}_k$ 는 $k$-번째 푸리에 계수에 대응하며, $\overline{B}_0$ 는 $\alpha_z(U) = zU$ 를 만족하는 $S^1$-작용의 고정점 대수이다. 이 $\alpha_z$ 는 교차곱의 자명한 자동형사상으로 확장된다.