[논문 리뷰] Kawaguchi-Silverman conjecture for endomorphisms on rationally connected varieties admitting an int-amplified endomorphism

Yohsuke Matsuzawa, Shou Yoshikawa|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정수 계수를 가진 유리 연결 다양체에서의 전사적 자기 사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측을 증명한다. 이 다양체들은 정수 계수를 가진 자기 사상을 갖는다. 등변 최소 모형 프로그램(MMP) 기법을 활용하고 자기 사상 하에서의 피보라션 구조를 분석함으로써, 아르키메데스 밀도 궤도를 갖는 점들에 대해 산술 차수와 역학 차수가 일치함을 보이며, 이 클래스의 다양체에서 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We prove Kawaguchi-Silverman conjecture for all surjective endomorphisms on every smooth rationally connected variety admitting an int-amplified endomorphism.

연구 동기 및 목표

• 정수 계수를 가진 자기 사상이 존재하는 매끄럽고 유리 연결 다양체에서의 전사적 자기 사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측을 확립한다.
• 이전에 아벨 다양체 및 하이퍼-카일러 다양체에서 알려진 결과를 더 넓은 범위의 유리 연결 다양체로 확장한다.
• 비양성 카오다이어 차수를 가진 경우에 대해, 유리 연결 섬유와 비-유리 연결 기저를 가진 피보라션을 갖는 다양체에 초점을 맞춰 추측을 해결한다.
• 자기 사상 하에서 동역학적 차수와 산술 차수의 행동을 제어하기 위해 등변 MMP 기법을 개발하고 적용한다.

제안 방법

• Meng과 Zhang가 개발한 자기 사상 하에서의 등변 최소 모형 프로그램(MMP)을 활용하여 문제를 더 단순한 다양체로 축소한다.
• MMP 과정에서 발생하는 피보라션의 구조를 제어하기 위해 커버링 정리를 적용한다.
• 정수 계수를 가진 자기 사상이 다발을 유지하고 강화함을 이용하여, 특히 이러한 사상 하에서 분기 다발이 기약적이고 앰플임을 보인다.
• 차원 또는 피카르 수를 엄격히 감소시키는 MMP 단계를 반복 적용함으로써, 차원과 피카르 수에 대한 귀납법을 사용한다.
• 유리 연결 다양체가 네론-세베르 그룹에서 자명한 캐논리컬 클래스를 가짐을 이용하여, $ N^1(X)_\mathbb{Q} = \operatorname{Pic}X_\mathbb{Q} $임을 보장함으로써 코homological 추론을 단순화한다.
• 유한 사상과 피보라션 유형의 수축 하에서 동역학 차수의 행동에 관한 결과를 적용하며, 특히 조건 $(\ast)$가 이러한 사상에 따라 상승함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 계수를 가진 자기 사상이 존재하는 매끄럽고 유리 연결 다양체에서의 모든 전사적 자기 사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측이 성립하는가?
• RQ2 등변 MMP를 사용하여 추측을 Q-아벨 다양체 또는 피보라션 유형 수축을 갖는 더 단순한 기하적 구조를 가진 다양체로 축소할 수 있는가?
• RQ3 MMP의 맥락에서 반복된 정수 계수를 가진 자기 사상 하에서 분기 다발과 다발의 역상은 어떻게 변하는가?
• RQ4 MMP 과정의 피보라션은 어떤 조건에서 원래 다양체로의 추측 전이를 방해하는가?
• RQ5 MMP 단계를 통해 피카르 수나 차원을 점진적으로 감소시키며 추측을 귀납적으로 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 정수 계수를 가진 자기 사상이 존재하는 매끄럽고 유리 연결 다양체에서의 모든 전사적 자기 사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측이 성립한다.
• 모든 점 $ x \in X(\overline{\mathbb{Q}}) $에 대해, $ f $-궤도가 아르키메데스 밀도를 가질 경우 산술 차수 $ \alpha_f(x) $는 동역학 차수 $ \delta_f $와 같다.
• MMP 과정에서 추측을 방해할 수 있는 피보라션은 주어진 가정 하에서 발생하지 않으며, 정수 계수를 가진 자기 사상이 부여하는 강성 때문이다.
• 유리 연결 다양체에서 반복된 정수 계수를 가진 자기 사상의 분기 다발은 기약적이며, $ \pi $-앰플이다. 여기서 $ \pi $는 피보라션 유형 수축이다.
• 추측이 성립함을 보장하는 조건 $ (\ast) $는 피보라션 유형 수축을 따라 상승하므로 귀납적 축소가 가능하다.
• 피카르 수 또는 차원을 감소시키는 MMP 단계를 반복 적용하는 과정은 결국 추측이 알려진 기저 사례에 도달함으로써 종료된다.