[논문 리뷰] Cubical cospans and higher cobordisms (Cospans in algebraic topology, III)

Marco Grandis|ArXiv.org|2008. 06. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고차원 코버디즘을 위한 두 가지 호모토피적으로 안정된 범주적 구조를 제안한다: 위상공간에서의 콜라르가 있는 코스팬의 약한 입방형 범주와, 호모토피 병합을 사용하는 더 단순한 준입방형 범주. 주요 기여는 호모토피 불변성을 위해 탈락 지도와 호모토피 병합 조합을 통해 고차 입방형 차수로의 위상적 양자장 이론(TQFT)을 확장할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

After two papers on weak cubical categories and {\it collarable} cospans, respectively, we put things together and construct a {\it weak} cubical category of cubical {\it collared} cospans of topological spaces. We also build a second structure, called a {\it quasi} cubical category, formed of arbitrary cubical cospans concatenated by homotopy pushouts. This structure, simpler but weaker, has {\it lax} identities. It contains a similar framework for cobordisms of manifolds with corners and could therefore be the basis to extend the study of TQFT's of Part II to higher cubical degree.

연구 동기 및 목표

• 위상공간에서의 콜라르가 있는 코스팬의 약한 입방형 범주 $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$를 구성하여 합성의 호모토피 불변성을 보장한다.
• 일반적인 병합이 고차 입방형 구조에서 호모토피 유형을 유지하지 못하는 데서 기인하는 문제를 다룬다.
• 1차 차수에서의 콜라라블 코스팬을 임의의 입방형 차수로 일반화하여 고차원 TQFT 구축을 가능하게 한다.
• 실린더형 탈락 지도와 호모토피 병합을 사용하는 준입방형 범주 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$를 도입하여 엄격한 항등원 조건을 완화하면서도 필수적인 범주적 구조를 유지한다.
• 다각형의 모서리가 있는 다양체와 그들의 코버디즘들을 범주적으로 모델링하여 TQFT를 2차 수준을 초월해 확장할 수 있는 기반을 마련한다.

제안 방법

• 입방형 범주 $\bm{\wedge}^n$ 에서 ${{\bf Top}}$ 로의 함자를 사용하여, 콜라르가 있는 코스팬의 약한 입방형 범주 $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$ 를 구성하며, 합성은 병합을 통해 정의한다.
• 콜라라블 코스팬을 서로 겹치지 않는 실린더(콜라르)의 임bedding을 갖는 것으로 정의하여, 호모토피 병합과의 호환성을 확보한다.
• 일반적인 병합 대신 호모토피 병합을 사용하여 합성을 정의함으로써, 호모토피 불변성과 코호모티피 및 (코)호모로지 함자에 대한 안정성을 확보한다.
• 실린더형 탈락 지도 $E_i$ 가 표준 탈락 지도 $e_i$ 를 대체하는 준입방형 범주 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ 를 도입하며, 항등원 비교가 가역적이지 않아서 항등원이 느슨해진다.
• 실린더형 탈락 지도와 호모토피 병합을 사용하여 $k$-다양체의 모서리와 그들의 입방형 코버디즘의 구조 $\mathbb{C}{\rm OB}_{*}(k) \subset \mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ 를 정형화하여 고차 TQFT를 가능하게 한다.
• 새로운 구조가 입방형 항등식을 동형사상으로까지 만족하며, 준입방형 경우 비교가 반드시 가역적이지 않음을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상공간에서의 입방형 코스팬은 어떻게 구성되어야 고차원에서 호모토피 불변성을 보장할 수 있는가?
• RQ2 콜라르는 호모토피 함자에 대한 코스팬 합성의 안정성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 호모토피 병합과 실린더형 탈락 지도를 사용하여 엄격한 항등원 조건을 완화하면서도 필수적인 범주적 구조를 유지하는 준입방형 범주를 구성할 수 있는가?
• RQ4 새로운 구조는 TQFT의 프레임워크를 어떻게 고차 입방형 차수로 확장하는가?
• RQ5 콜라르가 있는 코스팬의 약한 입방형 범주와 호모토피 병합에 기반한 준입방형 범주 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 콜라르가 있는 코스팬의 약한 입방형 범주 $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$ 가 구성되었으며, 병합이 호모토피 병합으로서 보존되어 호모토피 불변성이 유지된다.
• 코호모티피 및 (코)호모로지 함자는 콜라라블 코스팬을 각각 집합과 아벨 군에서의 관계로 매핑하여 대수적 불변량과 TQFT를 도출한다.
• 실린더형 탈락 지도 $E_i$ 와 호모토피 병합이 표준 연산을 대체하는 준입방형 범주 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ 가 도입되었으며, 이로 인해 항등원이 느슨해진다.
• $k$-다양체의 모서리와 그들의 입방형 코버디즘의 구조 $\mathbb{C}{\rm OB}_{*}(k)$ 가 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ 내부에 임bedded되어 고차 TQFT를 위한 프레임워크를 제공한다.
• 준입방형 설정에서 탈락 지도의 항등식 법칙이 엄격히 가역적이지 않으며, 비교는 동형사상이지만 반드시 가역적이지는 않다. 이는 범주론적 엄격성의 완화를 반영한다.
• 호모토피 병합과 실린더형 항등식을 사용함으로써 몰턴과 베이즈의 2차 입방형 TQFT 프레임워크를 일반화하여 콜라르가 필요 없이도 구조를 유지할 수 있다.