[논문 리뷰] Cubical sets and the topological topos

Bas Spitters|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평탄한 분배 격자(Flat distributive lattices)를 분류하는 입방체 집합(cubical sets)을 확립하며, 위상적 토포스를 통해 입방체 집합의 기하적 실현을 제공한다. 이 논문은 입방체 집합의 토포스에서 항등성 유형의 무어 경로 모델을 구축하고, 내부 인수 분해 체계를 사용하여 분비적 입방체 집합 위에 사전 모델 구조(pre-model structure)의 존재를 증명함으로써, 입방체 유형 이론과 유니발런트 기초 이론의 기초적 의미론을 발전시킨다.

ABSTRACT

Coquand's cubical set model for homotopy type theory provides the basis for a computational interpretation of the univalence axiom and some higher inductive types, as implemented in the cubical proof assistant. This paper contributes to the understanding of this model. We make three contributions: 1. Johnstone's topological topos was created to present the geometric realization of simplicial sets as a geometric morphism between toposes. Johnstone shows that simplicial sets classify strict linear orders with disjoint endpoints and that (classically) the unit interval is such an order. Here we show that it can also be a target for cubical realization by showing that Coquand's cubical sets classify the geometric theory of flat distributive lattices. As a side result, we obtain a simplicial realization of a cubical set. 2. Using the internal `interval' in the topos of cubical sets, we construct a Moore path model of identity types. 3. We construct a premodel structure internally in the cubical type theory and hence on the fibrant objects in cubical sets.

연구 동기 및 목표

• 쿠아운드의 호모토피 유형 이론을 위한 입방체 집합 모델의 논리적 및 범주론적 기초를 명확히 하는 것.
• 입방체 집합의 토포스가 평탄한 분배 격자를 분류하며, 존스톤의 위상적 토포스 프레임워크를 확장하는 것.
• 입방체 집합의 토포스 내부의 내부 간격을 사용하여 항등성 유형의 무어 경로 모델을 구축하는 것.
• 두 개의 내부 인수 분해 체계를 사용하여 분비적 입방체 집합 위에 사전 모델 구조를 수립하는 것: 감비노-가르너 체계와 표시 맵 체계.
• 유니발런트 기초 이론에 적합한 균일하고 함자적 인수 분해 체계를 통해 입방체 집합의 내부 유형 이론을 지원하는 것.

제안 방법

• 유한 분배 격자와 유한 부분순서집합 사이의 스톤 대칭성(duality)을 사용하여 입방체 집합이 평탄한 분배 격자를 분류함을 보이는 것.
• 라베르 이론 대칭성(duality)을 적용하여 제곱 카테고리가 유한 집합 위의 자유 분배 격자 모나드의 클라이프리 카테고리(Kleisli category)임을 보이는 것.
• 평탄한 분배 격자를 이용해 입방체 집합의 토포스 내에서 코입방체 대상(cocubical object)을 구성함으로써 기하적 실현을 가능하게 하는 것.
• 입방체 집합의 토포스 내부의 내부 간격 대상으로 무어 경로를 정의하고, J 제거자에 대한 판단적 계산 규칙을 설정하는 것.
• 두 개의 내부 인수 분해 체계를 도입: 하나는 함수의 그래프를 통해 감비노-가르너 구축을 통해, 다른 하나는 표시 맵을 통해.
• 약한 동치에 대한 3-for-2 닫힘 성질과 코프라비의 성질을 확인함으로써 사전 모델 구조를 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입방체 집합의 토포스는 평탄한 분배 격자의 분류 토포스와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 입방체 집합의 토포스 내부에서 내부 간격을 사용하여 무어 경로 모델의 항등성 유형을 내부적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 내부 유형 이론적 구성 방법을 사용하여 입방체 집합의 토포스 내 분비적 대상 위에 사전 모델 구조가 존재하는가?
• RQ4 감비노-가르너 체계와 표시 맵 체계는 어떻게 상호작용하여 사전 모델 구조를 형성하는가?
• RQ5 평탄성과 필터링된 합집합은 입방체 집합이 분배 격자 이론의 모델로 분류되는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 입방체 집합의 토포스는 평탄한 분배 격자를 분류하며, 단순체 집합에 대한 존스톤의 결과를 일반화한다.
• 분배 격자와 유한 부분순서집합 사이의 대칭성 덕분에 입방체 집합의 단순체 실현(simplicial realization)을 부가 결과로 확보한다.
• 입방체 집합의 토포스 내부 언어에서 무어 경로 모델의 항등성 유형이 구성되었으며, J 제거자에 대한 판단적 계산 규칙을 만족한다.
• 분비적 입방체 집합 위에 사전 모델 구조가 존재하며, 코프라비는 극복 가능한 트리비얼 피브레이션에 대해 왼쪽 릿지 성질을 갖는다.
• 약한 동치는 3-for-2 성질을 만족하고 재취소에 대해 닫혀 있으며, 사전 모델 구조에 요구되는 조건을 충족한다.
• 감비노-가르너 체계와 표시 맵 체계의 두 인수 분해 체계가 결합되어 사전 모델 구조를 형성하며, 트리비얼 피브레이션은 동치이자 표시 맵인 맵으로 정의된다.