[논문 리뷰] Model Structures for Correspondences and Bifibrations

Danny Stevenson|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 단순 복합체의 맥락에서 이섬유화와 대응관계에 대한 모델 범주 구조를 수립하며, ∞-범주 A와 B에서의 이섬유화가 (Set_Δ)_{/(A×B)} 위의 왼쪽 완전성, 체계적인 모델 구조에서 피브란트 대상임을 증명한다. 또한 대응관계의 범주 Corr(A,B)에 대해 모델 구조를 구성하고, 이러한 구조들과 공변 모델 구조 사이에 여러 쿠렌 동치를 증명하여 고전적인 섬유화 결과를 이양적 상황으로 일반화한다.

ABSTRACT

We study the notion of a bifibration in simplicial sets which generalizes the classical notion of two-sided discrete fibration studied in category theory. If $A$ and $B$ are simplicial sets we equip the category of simplicial sets over $A imes B$ with the structure of a model category for which the fibrant objects are the bifibrations from $A$ to $B$. We also equip the category of correspondences of simplicial sets from $A$ to $B$ with the structure of a model category. We describe several Quillen equivalences relating these model structure with the covariant model structure on the category of simplicial sets over $B^{\mathrm{op}} imes A$.

연구 동기 및 목표

• A×B 위의 단순 복합체의 범주에 대해, 피브란트 대상이 A에서 B로의 이섬유화가 되는 모델 범주 구조를 정의하고 구성하는 것.
• 대응관계의 범주 Corr(A,B)에 대해, 왼쪽 완전성과 체계성을 갖춘 모델 구조를 부여하여, 피브란트 대상이 총공간이 ∞-범주인 대응관계가 되도록 하는 것.
• Corr(A,B)의 모델 구조, (Set_Δ)_{/(A×B)} 위의 이양적 모델 구조, 그리고 (Set_Δ)_{/(B^op × A)} 위의 공변 모델 구조 사이의 쿠렌 동치를 수립하는 것.

제안 방법

• 이양적 애니드 맵의 개념을 (Set_Δ)_{/(A×B)}에서 도입하여, 이양적 모델 구조의 약한 코프ibration을 생성한다.
• 모형 코프ibration을 단사사상으로 정의하고, 피브란트 대상을 이섬유화로 삼으며, 왼쪽 완전성과 체계성을 활용하여 (Set_Δ)_{/(A×B)} 위의 이양적 모델 구조를 구성한다.
• Corr(A,B) 위의 대응관계 모델 구조를 (Set_Δ)_{/B⋆A} 위의 조얄 모델 구조에서 유도된 왼쪽 유도 모델 구조로 정의한다.
• 함자 d*와 d*를 통해 Corr(A,B)와 (Set_Δ)_{/(A×B)} 사이의 쿠렌 수반 관계를 수립하고, 섬유별 호모토피 동치를 이용하여 쿠렌 동치를 증명한다.
• 대응관계 X→Δ¹의 단면 공간을 보내는 함자 Γ: Corr(A,B) → (Set_Δ)_{/(A×B)}와 그 왼쪽 수반 함자 C를 정의하여, 두 번째 쿠렌 동치를 증명한다.
• 류리와 조얄의 왼쪽 및 오른쪽 섬유화에 관한 결과를 응용하여, 섬유별 호모토피 동치와 수축 가능한 섬유 기준과 같은 성질을 이양적 상황으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 복합체에서의 이섬유화 개념은 (Set_Δ)_{/(A×B)} 위의 쿠렌 모델 범주 구조에서 피브란트 대상으로서 형식화될 수 있는가?
• RQ2 대응관계의 범주 Corr(A,B)에는 자연스러운 모델 구조가 존재하는가? 이 경우 피브란트 대상은 Δ¹ 위의 ∞-범주이면서 주어진 섬유 A와 B를 갖는 대응관계가 되는가?
• RQ3 Corr(A,B)의 모델 구조와 (Set_Δ)_{/(A×B)}의 모델 구조는 (Set_Δ)_{/(B^op × A)} 위의 공변 모델 구조와 쿠렌 동치인가?
• RQ4 이양적 동치는 이섬유화의 맥락에서 섬유별 호모토피 동치와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 단면 함자 Γ와 그 왼쪽 수반 함자 C는 대응관계 모델 구조와 이양적 모델 구조를 어떻게 연결하는가?

주요 결과

• (Set_Δ)_{/(A×B)}는 코프ibration이 단사사상이고, 피브란트 대상이 정확히 A에서 B로의 이섬유화인 왼쪽 완전성, 체계적인 모델 구조를 갖는다.
• A에서 B로의 대응관계의 범주 Corr(A,B)는 코프ibration이 단사사상이고, 피브란트 대상이 X→Δ¹이면서 X가 ∞-범주인 대응관계인 왼쪽 완전성, 체계적인 모델 구조를 갖는다.
• 함자 쌍 (d*, d*)를 통해 Corr(A,B)의 대응관계 모델 구조와 (Set_Δ)_{/(A×B)}의 이양적 모델 구조 사이에 쿠렌 동치가 수립된다.
• 이섬유화 X→A×B와 Y→A×B 사이의 이양적 동치는 모든 a∈A, b∈B에 대해 유도된 사상 X(a,b)→Y(a,b)가 약한 호모토피 동치임과 동치이다.
• 이섬유화 X→A×B는 정확히 모든 섬유 X(a,b)가 수축 가능한 칸 복합체일 때만 정규 칸 섬유화이다.
• 함자 쌍 (C, Γ)는 (Set_Δ)_{/(A×B)}와 Corr(A,B) 사이의 쿠렌 동치를 이룬다. 이는 이양적 모델 구조와 대응관계 모델 구조 사이의 두 번째 쿠렌 동치를 수립한다.