[논문 리뷰] Cubical Syntax for Reflection-Free Extensional Equality

Jonathan Sterling, Carlo Angiuli외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 등가 반사 없이 확장성 등가를 달성하는 XTT라는 입방형 유형 이론을 소개한다. 이는 새로운 입방형 문법을 통해 함수 등가성과 정체성 증명의 판단론적 유일성(unicity)을 가능하게 하며, Coquand와 Shulman의 영감을 받은 범주론적 끈적임(categorical gluing)의 입방형 확장으로 인해 모든 닫힌 불리언 항이 판단론적으로 true 또는 false와 동일하다는 대수적 귀납성을 증명한다.

ABSTRACT

We contribute XTT, a cubical reconstruction of Observational Type Theory which extends Martin-Löf's intensional type theory with a dependent equality type that enjoys function extensionality and a judgmental version of the unicity of identity types principle (UIP): any two elements of the same equality type are judgmentally equal. Moreover, we conjecture that the typing relation can be decided in a practical way. In this paper, we establish an algebraic canonicity theorem using a novel cubical extension (independently proposed by Awodey) of the logical families or categorical gluing argument inspired by Coquand and Shulman: every closed element of boolean type is derivably equal to either 'true' or 'false'.

연구 동기 및 목표

• 등가 반사에 의존하지 않으면서도 등가성을 확장성으로 내재화할 수 있는 유형 이론을 개발하기 위해.
• 함수 등가성과 정체성 증명의 유일성을 지원하는 실용적이고 결정 가능성을 보장하는 타입 체계를 제공하기 위해.
• 불리언 타입에 대해 입방형 일반화된 범주론적 끈적임을 통해 귀납성을 확립하기 위해.
• 계산적 적합성과 의미론적 불변성을 지원하는 입방형 프레임워크 내에서 관측 가능 유형 이론을 재구성하기 위해.

제안 방법

• 등가 반사를 대체하여 판단론적 유일성 원칙을 도입함으로써 관측 가능 유형 이론의 입방형 확장으로 XTT를 구성하기 위해.
• 경로 타입과 피브레이션을 기반으로 한 입방형 문법을 사용하여 등가성을 내재화하면서도 귀납성을 유지하기 위해.
• Coquand와 Shulman의 영감을 받은 새로운 입방형 변형을 사용하여 범주론적 끈적임 추론을 적용하고 대수적 귀납성을 증명하기 위해.
• 경계 분리와 타입 케이스를 존중하는 방식으로 모든 타입 형성자(의존 함수, 쌍, 경로, 유니버스)에 대해 실현자(realizers)를 정의하기 위해.
• 닫힌 불리언 항이 true 또는 false로 감소함을 보장하기 위해 cpo-값을 가진 모델의 내부 언어를 활용하기 위해.
• 구문 모델 C⋆가 모든 필요한 유형 이론 원칙, 즉 유일성, 코ercion, 타입 케이스 등을 만족함을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등가 반사에 의존하지 않으면서도 결정 가능성과 귀납성을 유지하면서 확장성 등가를 유형 이론 내에 내재화할 수 있는가?
• RQ2 입방형 유형 이론을 어떻게 사용하여 반사 없이도 함수 등가성과 정체성 증명의 유일성을 달성할 수 있는가?
• RQ3 범주론적 끈적임 추론을 입방형 유형 이론에 적응시켜 불리언 타입에 대해 대수적 귀납성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 모든 표준 타입 형성자를 지원하고 필요한 계산적 및 의미론적 성질을 만족하는 XTT의 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ5 입방형 문법이 타입 관계에 대한 실용적인 결정 절차를 허용하는가?

주요 결과

• 논문은 XTT에서 모든 닫힌 불리언 타입의 항이 판단론적으로 true 또는 false와 동일하다는 것을 증명하여 대수적 귀납성을 확립한다.
• XTT는 등가 반사 없이도 함수 등가성과 판단론적 정체성 증명 유일성(UIP)을 지원한다.
• XTT의 타입 관계는 결정 가능하다는 추측이 제기되어 실용적 구현 가능성을 시사한다.
• 구문 모델 C⋆는 의존 함수 타입, 의존 쌍, 경로 타입, 유니버스를 포함한 모든 필요한 유형 이론 원칙을 만족한다.
• 모델 C⋆가 XTT-대수의 호모모르피즘임이 입증되어 그 타당성과 일관성을 확인한다.
• 경계 분리와 타입 케이스가 모델에서 유지되어 타입 수준과 항 수준의 구성에 대해 강건함을 보장한다.