[논문 리뷰] Cut-norms and spectra of matrices

Vladimir Nikiforov|ArXiv.org|2009. 12. 02.

Graph theory and applications참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Lovász가 컷-거리( cut-distance )를 사용하여 그래프 간 스펙트럼 차이를 유 bounds하는 데 대해 제기한 열린 문제를 해결한다. 이를 위해 컷-노름($\|\cdot\|_\square$)과 $\|\cdot\|_\boxdot$라는 두 가지 행렬 노름을 도입하고 분석하며, 이러한 노름과 특이값/고유값 사이의 날카운 격차를 확립한다. 스펙트럼 차이는 두 행렬의 컷-거리의 제곱근의 상수배로 유 bounds됨을 증명하며, 이는 스펙트럼 샘플링 정리로 이어진다: 실대칭 행렬의 거의 모든 주행렬은 원래 행렬과 스펙트르적으로 유사하다.

ABSTRACT

One of the aims of this paper is to solve an open problem of Lovasz about relations between graph spectra and cut-distance. The paper starts with several inequalities between two versions of the cut-norm and the two largest singular values of arbitrary complex matrices, exteding, in particular, the well-known graph-theoretical Expander Mixing Lemma and giving a hitherto unknown converse of it. Next, cut-distance is defined for Hermitian matrices, and, separately, for arbitrary complex matrices; using these extensions, we give upper bounds on the difference of corresponding eigenvalues and singular values of two matrices, thus solving the problem of Lovasz. Finally, we deduce a spectral sampling theorem, which informally states that almost all principal submatrices of a real symmetric matrix are spectrally similar to it.

연구 동기 및 목표

• Lovász가 컷-거리로 그래프 간 스펙트럼 차이를 유 bounds하는 데 대해 제기한 열린 문제를 해결하는 것.
• 컷-노름을 사용하여 일반적인 복소수 행렬로 확장된 확산 혼합 렘마(Expander Mixing Lemma)와 그 역을 확장하는 것.
• 헤르미트 행렬 및 일반적인 복소수 행렬에 대해 컷-거리를 정의하고 고유값/특이값 차이의 유 bounds를 도출하는 것.
• 실대칭 행렬의 거의 모든 주행렬이 원래 행렬과 스펙트르적으로 유사하다는 스펙트럼 샘플링 정리를 수립하는 것.

제안 방법

• 컷-노름의 두 형태를 도입: $\|A\|_\square = \max_{X,Y} \frac{1}{mn}|\Sigma(A[X,Y])|$ 와 $\|A\|_\boxdot = \max_{X,Y \neq \emptyset} \frac{1}{\sqrt{|X||Y|}} |\Sigma(A[X,Y])|$.
• 행렬 차원과 $\|A\|_\square$, $\|A\|_\boxdot$에 따라 최대 특이값 $\sigma_1(A)$에 대한 날카운 상한을 유도하며, 행렬 $A$가 실수 또는 복소수인 경우에 따라 상수가 달라짐.
• 특이값 차이를 차이 행렬의 컷-노름과 연결하기 위해 부등식 $|\sigma_i(X) - \sigma_i(Y)| \leq \sigma_1(X - Y)$를 활용.
• 스케일링된 행렬에 대해 정규화된 컷-거리 $\widehat{\delta}_{\boxminus}(A^{(rk,sk)}, B^{(mk,nk)})$를 정의하고, 이로 특이값 차이를 渐近적으로 유 bounds함.
• 카우치의 인터라싱 정리(Cauchy’s Interlacing Theorem)와 확률적 유 bounds를 적용하여, 실대칭 행렬의 랜덤 주행렬이 높은 확률로 원래 행렬과 스펙트르적으로 유사하다는 것을 보임.
• 근사화 기법과 기존 결과(예: Borgs 등)를 활용하여, 랜덤 주행렬에 대한 컷-거리의 농도 유 bounds를 수립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lovász가 제기한 바에 따르면, 두 그래프 간 스펙트럼 차이의 최선의 가능한 상한은 그들의 컷-거리로 어떻게 유 bounds될 수 있는가?
• RQ2 컷-노름을 사용하여 확장 혼합 렘마(Expander Mixing Lemma)와 그 역을 일반적인 복소수 행렬로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 헤르미트 행렬 및 일반적인 복소수 행렬에 대해 컷-거리를 의미 있게 확장하여 고유값 및 특이값 차이를 유 bounds할 수 있는가?
• RQ4 실대칭 행렬의 주행렬이 원래 행렬과 얼마나 스펙트르적으로 유사한가?
• RQ5 스펙트럼 행동이 컷-거리에 의해 제어될 수 있는가? 이는 샘플링 기반 스펙트럼 근사화를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 복소수 행렬에 대해 $\sigma_1(A) \leq 4\sqrt{|A|_\infty \|A\|_\square mn}$ 이고, 실수 행렬에 대해 $\sigma_1(A) \leq 2\sqrt{|A|_\infty \|A\|_\square mn}$ 이며, 상수 인자에 대해 날카운 유 bounds임.
• 임의의 행렬 $A$에 대해 $\sigma_1(A) \geq \|A\|_\boxdot$ 이고, $\sigma_1(A) \geq \|A\|_\square \sqrt{mn}$ 이며, 이는 상한에 대한 역으로서의 의미를 가짐.
• 두 행렬의 대응하는 특이값 차이는 $6\sqrt{\widehat{\delta}_{\boxminus}(A^{(rk,sk)}, B^{(mk,nk)})}$ 로 유 bounds되며, 여기서 $\widehat{\delta}_{\boxminus}$ 는 정규화된 컷-거리임.
• 실대칭 $n \times n$ 행렬 $A$ 에서 크기가 $k \times k$ 인 랜덤 주행렬 $B$ 에 대해, 스펙트럼 차이는 높은 확률로 $\left|\frac{\sigma_i(A)}{\sqrt{n}} - \frac{\sigma_i(B)}{\sqrt{k}}\right| \leq 6\sqrt{\widehat{\delta}_{\boxminus}}$ 를 만족함.
• 높은 확률로 $\delta_\square(A,B) \leq 10|A|_\infty (\log_2 k)^{-1/2}$ 이고, 이에 따라 고유값에 대해 $\left|\frac{\mu_i(A)}{n} - \frac{\mu_i(B)}{k}\right| \leq 30|A|_\infty (\log_2 k)^{-1/4}$ 가 성립함.
• 스펙트럼 샘플링 정리가 성립함: 실대칭 행렬의 거의 모든 주행렬은 원래 행렬과 스펙트르적으로 유사하며, 스펙트럼 차이는 $O((\log k)^{-1/4})$ 의 속도로 감소함.