[논문 리뷰] Cyclic cohomology of certain nuclear Fréchet and DF algebras

Zinaida A. Lykova|ArXiv.org|2007. 04. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 핵심 프레셰 및 DF 대수, 특히 텐서 대수, 코테 대수, 그리고 컴acts 리 군 위의 매끄러운 함수와 분포의 대수를 포함한 연속 Hochschild 및 순환 (코)homology에 대해 명시적이고 위상적 등장사상 클래스를 수립한다. 핵심 DF 공간에서의 호모로지 기법을 활용하고, 코homology 등장사상이 자동으로 위상적임을 증명함으로써, 기존의 바나흐 대수에서의 결과를 더 넓은 범위의 위상 대수로 일반화한다.

ABSTRACT

We give explicit formulae for the continuous Hochschild and cyclic homology and cohomology of certain topological algebras. To this end we show that, for a continuous morphism $ϕ: \X o \Y$ of complexes of complete nuclear $DF$-spaces, the isomorphism of cohomology groups $H^n(ϕ): H^n(\X) o H^n(\Y)$ is automatically topological. The continuous cyclic-type homology and cohomology are described up to topological isomorphism for the following classes of biprojective $\hat{\otimes}$-algebras: the tensor algebra $E \hat{\otimes} F$ generated by the duality $(E, F, < \cdot, \cdot >)$ for nuclear Fréchet spaces $E$ and $F$ or for nuclear $DF$-spaces $E$ and $F$; nuclear biprojective Köthe algebras $λ(P)$ which are Fréchet spaces or $DF$-spaces; the algebra of distributions $\mathcal{E}^*(G)$ on a compact Lie group $G$.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 대수에서 연속 Hochschild 및 순환 (코)homology 이론을 더 넓은 범위의 위상 대수, 특히 핵심 프레셰 및 DF 대수로 확장하는 것.
• 바나흐 경우를 초월한 위상 대수에 대해 이러한 호모로지 및 코호모로지 군을 명시적으로 계산하는 데 도전하는 문제를 해결하는 것.
• 완전한 핵심 DF 공간의 복합체 코호모로지 등장사상이 자동으로 위상적임을 증명하여 더 강력한 구조적 결과를 도출하는 것.
• 핵심 이중성 $\hat{\otimes}$-대수의 주요 클래스에 대해 연속 순환형 (코)homology의 명시적 위상 등장사상 기술을 수립하는 것.
• 알려진 결과들을 $\mathcal{E}(G)$, $\mathcal{E}^*(G)$, $E\hat{\otimes}F$, 그리고 코테 대수 $\lambda(P)$ 및 $\lambda(P)^*$와 같은 대수들에 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 완전한 핵심 DF 공간의 범주에서 호모로지 대수 기법을 활용하며, 그들이 프로젝티브 텐서곱과 닫힌 부분공간에서 안정적임을 이용한다.
• 국소 볼록 공간에서의 열린 사상 정리를 적용하여, 완전한 핵심 DF 공간의 복합체의 코호모로지 군 간의 등장사상이 자동으로 위상적임을 증명한다.
• 핵심 프레셰 또는 DF 공간 $E$와 $F$에 대한 쌍대성 쌍 $(E,F,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 에 의해 생성되는 $\hat{\otimes}$-대수 이론을 활용한다.
• 코테 집합 $P$에 대해 조건 (P3), (P4), (P5)를 만족하는 핵심 이중성 코테 대수 $\lambda(P)$와 그 강한 쌍대 $\lambda(P)^*$에 대한 결과를 적용한다.
• 대수들 $\mathcal{E}(G)$, $\mathcal{E}^*(G)$, $\Re = s\hat{\otimes}s$ 가 핵심적이고 이중성임을 이용하여, 구조 정리에 의해 (코)호모로지 군을 유도한다.
• 공동자 몫 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$ 와 추적 공간 $\mathcal{A}^{tr}$ 의 구조를 사용하여, 모든 순환형 (코)호모로지 군에 대한 명시적 공식을 위상 등장사상까지 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 핵심 프레셰 및 DF 대수에 대해 바나흐 경우를 초월하여 연속 Hochschild 및 순환 (코)homology를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 완전한 핵심 DF 공간의 복합체 간의 코호모로지 등장사상이 언제 자동으로 위상적인가?
• RQ3 핵심 프레셰 또는 DF 공간 $E$와 $F$에 대해 텐서 대수 $E\hat{\otimes}F$ 의 연속 순환형 (코)homology 는 무엇인가?
• RQ4 핵심 이중성 코테 대수 $\lambda(P)$ 와 그 강한 쌍대 $\lambda(P)^*$ 의 연속 (코)호모로지 는 무엇인가?
• RQ5 콤팩트 리 군 $G$ 위의 매끄러운 함수 $\mathcal{E}(G)$ 와 분포 $\mathcal{E}^*(G)$ 의 대수의 (코)호모로지 군은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 정리 6.8의 (i)–(v) 클래스에 속하는 모든 대수에 대해, 나이브 및 바르 순환 호모로지 $\mathcal{H}^{naive}_n(\mathcal{A})$ 와 $\mathcal{H}^{bar}_n(\mathcal{A})$ 는 $n \geq 1$ 에서 0이며, $\mathcal{H}^{naive}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$ 이다.
• 정기 순환 호모로지에서는 $\mathcal{H}\mathcal{P}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$ 이고 $\mathcal{H}\mathcal{P}_1(\mathcal{A}) = \{0\}$ 이며, 이는 프레셰 대수의 경우 위상 등장사상으로, DF 대수의 경우 선형 등장사상으로 성립한다.
• Hochschild 호모로지 $\mathcal{H}\mathcal{H}_n(\mathcal{A})$ 는 $n \geq 1$ 에서 0이며, $\mathcal{H}\mathcal{H}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$ 이다.
• 순환 호모로지 $\mathcal{H}\mathcal{C}_{2\ell}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$ 이고 $\mathcal{H}\mathcal{C}_{2\ell+1}(\mathcal{A}) = \{0\}$ 이며, 모든 $\ell \geq 0$ 에 대해 성립한다.
• 코호모로지 군 $\mathcal{H}^{n}_{\text{naive}}(\mathcal{A})$ 와 $\mathcal{H}^{n}_{\text{bar}}(\mathcal{A})$ 는 모든 $n \geq 1$ 에서 0이며, $\mathcal{H}^{0}_{\text{naive}}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$ 이다.
• Hochschild 코호모로지 $\mathcal{H}\mathcal{H}^n(\mathcal{A})$ 는 $n \geq 1$ 에서 0이며, $\mathcal{H}\mathcal{H}^0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^{tr}$ 이고, 순환 코호모로지에서는 $\mathcal{H}\mathcal{C}^{2\ell}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^{tr}$ 이고 $\mathcal{H}\mathcal{C}^{2\ell+1}(\mathcal{A}) = \{0\}$ 이며, 모든 $\ell \geq 0$ 에 대해 성립한다.