[논문 리뷰] Cyclic covering morphisms on $\bar{M}_{0,n}$

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $n$개의 마킹된 점에서 분지하는 $p$차 순환 피복 사상에 의한 $¯{M}_{0,n}$의 모듈리 공간 위에서 네프 선다발과 벡터다발의 새로운 기하학적 구성법을 제안한다. 모든 $\mathfrak{sl}_n$ 수준 1의 conformal blocks 다발이 이 구성법으로부터 유래됨을 증명하고, 대칭 네프 콘에서 새로운 극단선을 구성하며, $p=3$ 및 $p=5$의 경우에도 이를 적용하여 F-예측을 발전시키고 기존의 다발들에 대한 새로운代수기하학적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We study cyclic covering morphisms from $\bar{M}_{0,n}$ to moduli spaces of unpointed stable curves of positive genus or compactified moduli spaces of principally polarized abelian varieties. Our main application is a construction of new semipositive vector bundles and nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$, with a view toward the F-conjecture. In particular, we construct new extremal rays of the symmetric nef cone of $\bar{M}_{0,n}$. We also find an alternate description of all sl level 1 conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$.

연구 동기 및 목표

• 순환 피복 사상에 의한 $\overline{M}_{0,n}$ 위에서 새로운 반양성 벡터다발과 네프 다발을 구성하기.
• $\mathfrak{sl}_n$ 수준 1의 conformal blocks 다발에 대한 대수기하학적 실현을 제공하기.
• 모든 $\mathfrak{sl}_n$ 수준 1의 conformal blocks 다발이 순환 피복 구성법으로부터 유래됨을 증명하기.
• 기존의 conformal blocks 다발을 초월하여 대칭 네프 콘 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 내에서 새로운 극단선을 식별하기.
• 이러한 순환 피복 구성법으로 생성된 다발들에 의해 대칭 네프 콘이 생성됨을 보여, F-예측을 뒷받침하기.

제안 방법

• 각 $n$-점이 있는 유리 곡선에 대해 그 점들에서 분지하는 $p$차 피복을 부여하는 순환 $p$-피복 사상 $f_{n,p}: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_g$ 를 정의하며, 여기서 $g = (n-2)(p-1)/2$이다.
• 특이점을 해결하고 벡터다발을 히오지 배럴의 당김을 통해 구성할 수 있도록, 사상의 루트 스택으로의 올리기.
• $\mu_p$-작용을 통해 히오지 배럴을 고유부분다발 $\mathbb{E}_j$로 분해하고, $f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)$ 가 $\overline{M}_{0,n}$ 위에서 반양성임을 보임.
• $\det(f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)) = \mathbb{D}^1_{n,jn/p}/p$ 를 증명하여 이 구성법이 $\mathfrak{sl}_n$ 수준 1의 conformal blocks 다발로 이어짐을 연결.
• 다발 클래스를 계산하여 $f_{n,p}^*(\lambda)$ 의 표현식을 $\frac{p}{12}\left(\left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\psi - \sum_k \left(1 - \frac{\gcd(k,p)^2}{p^2}\right)\Delta_k\right)$ 로 유도하고, 반양성임과 동시에 $p$-나누어지는 경계다발 $\Delta_k$ 를 수축함을 보임.
• 기저 $\mathbb{P}^1$의 세 특수점 $\lambda = 0,1,\infty$ 에서 미분형식과 그 소멸 차수의 국소 분석을 통해 캐런 클래스를 계산하고, 고유부분다발 $\mathbb{E}_j$ 의 차수 0을 확인하여 이것이 선다발임을 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 피복 사상은 $\overline{M}_{0,n}$ 위에서 새로운 네프 다발과 벡터다발을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 모든 $\mathfrak{sl}_n$ 수준 1의 conformal blocks 다발은 순환 피복 구성법으로부터 기인하는가?
• RQ3 이 방법을 통해 대칭 네프 콘 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 내에서 새로운 극단선을 구성할 수 있는가?
• RQ4 히오지 클래스 $c_1(f_{n,p}^*(\mathbb{E}))$ 는 conformal blocks 다발들의 효과적 선형조합으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 $3 \mid n$ 인 경우, $f_{n,3}$ 에 의한 $9\lambda - \delta_{\text{irr}}$ 의 당김은 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 의 극단선을 이룬다.

주요 결과

• $f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)$ 는 $\overline{M}_{0,n}$ 위에서 반양성이며, 새로운 반양성 벡터다발의 구성법을 제공한다.
• $\det(f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)) = \mathbb{D}^1_{n,jn/p}/p$ 는 순환 피복 구성법을 통해 모든 $\mathfrak{sl}_n$ 수준 1의 conformal blocks 다발을 실현한다.
• $f_{n,p}^*(\lambda)$ 는 반양성이며, $\mathcal{A}_g$ 의 Satake 컴팩티피케이션으로의 사상으로서 정의되며, $p \mid k$ 인 경계다발 $\Delta_k$ 를 수축한다.
• $3 \mid n$ 인 경우, $f_{n,3}^*(9\lambda - \delta_{\text{irr}})$ 는 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 의 극단선이며, 기존의 conformal blocks 다발들로 생성된 콘을 초월한다.
• $p=5$ 인 경우에도 유사한 구성법으로 새로운 극단선을 얻을 수 있으며, 이는 고차수 $p$ 에서도 일반적인 패턴을 시사한다.
• 고유부분다발 $\mathbb{E}_j$ 는 $c_1(\mathbb{E}_j) = 0$ 인 선다발이며, 기저 $\mathbb{P}^1$ 의 세 특수점에서 유리 1형식의 소멸 차수를 계산하여 이를 검증하였다.