[논문 리뷰] $d_p$ convergence and $\epsilon$-regularity theorems for entropy and scalar curvature lower bounds

Man-Chun Lee, Aaron Naber외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 거의 비음성 스칼라 곡률과 엔트로피를 갖는 리만다이니안 다양체에 대한 $d_p$ 수렴—새로운 수렴 개념—을 도입한다. 이 틀에서 이러한 공간들은 유클리드 공간으로 수렴함을 보이며, $\epsilon$-정규성 정리와 컴팩턴스 결과를 확립한다. 이는 거리 함수의 병리적 행동으로 인해 고전적 개념인 그로모프-하우스도르프 또는 인트리닉 플랫 수렴이 실패할 수 있음을 보여주며, $d_p$ 수렴은 약한 곡률 한계 하에서 분석과 기하학을 유지한다.

ABSTRACT

Consider a sequence of Riemannian manifolds $(M^n_i,g_i)$ with scalar curvatures and entropies bounded below by small constants $R_i,\mu_i \geq-\epsilon_i$. The goal of this paper is to understand notions of convergence and the structure of limits for such spaces. Even in the seemingly rigid case $\epsilon_i o 0$, we construct examples showing that such a sequence may converge wildly in the Gromov-Hausdorff or Intrinsic Flat sense. On the other hand, we will see that these classical notions of convergence are the incorrect ones to consider. Indeed, even a metric space is the wrong underlying category to be working on. Instead, we introduce $d_p$ convergence, a weaker notion of convergence that is valid for a class of rectifiable Riemannian spaces. These rectifiable spaces have well-behaved topology, measure theory, and analysis, though potentially there will be no reasonably associated distance function. Under the $d_p$ notion of closeness, a space with almost nonnegative scalar curvature and small entropy bounds must in fact be close to Euclidean space; this will constitute our $\epsilon$-regularity theorem. More generally, we have a compactness theorem saying that sequences of Riemannian manifolds $(M^n_i,g_i)$ with small lower scalar curvature and entropy bounds $R_i,\mu_i \geq -\epsilon$ must $d_p$ converge to such a rectifiable Riemannian space $X$. Comparing to the first paragraph, the distance functions of $M_i$ may be degenerating, even though in a well-defined sense the analysis cannot be. Applications for manifolds with small scalar and entropy lower bounds include an $L^\infty$-Sobolev embedding and apriori $L^p$ scalar curvature bounds for $p<1$.

연구 동기 및 목표

• 기존의 수렴 개념(그로모프-하우스도르프, 인트리닉 플랫)이 거의 비음성 스칼라 곡률과 엔트로피를 갖는 다양체 수열에서 실패하는 문제를 다루기 위해.
• 이러한 곡률 한계 하에서 거리 함수가 붕괴되어 표준 기하학적 수렴이 무너지는 문제를 해결하기 위해.
• 함수에 대한 $W^{1,\infty}$ 제어를 $W^{1,p}$ 제어로 대체함으로써 분석과 기하학을 유지하는 새로운 수렴 프레임워크—$d_p$ 수렴—을 도입하기 위해.
• 작은 스칼라 곡률과 엔트로피 한계를 갖는 다양체는 $d_p$ 수렴 하에서 유클리드 공간에 가까워져야 한다는 $\epsilon$-정규성 정리를 증명하기 위해.
• 스칼라 곡률과 엔트로피의 하한이 작은 수열이 $d_p$ 수렴 하에서 직선화된 리만다이니안 공간으로 수렴한다는 전역 컴팩턴스 정리를 증명하기 위해.

제안 방법

• 리만다이니안 다양체에서 $d_p$ 거리 함수를 $d_p(x,y) = \sup \left\{ |f(x) - f(y)| : \int_M |\nabla f|^p \, d\text{vol}_g \leq 1 \right\}$ 로 정의한다. 여기서 $p \in (n, \infty]$ 이며, $p \to \infty$ 일 때 표준 거리 함수로 일반화된다.
• 표준 거리 함수가 없을 수 있는 잠재적 상황에서도 잘 정의된 위상, 측도론, 분석을 지원하는 직선화된 리만다이니안 공간을 $d_p$ 수렴의 극한 범주로 도입한다.
• 표준 거리 함수로의 일반화를 통해 $d_p$ 수렴 하에서 스칼라 곡률과 엔트로피가 $-\epsilon_i$ 이하로 떨어지지 않는 다양체는 $\epsilon_i \to 0$ 일 때 유클리드 공간으로 수렴함을 보이며, 이는 $\epsilon$-정규성 정리를 확립한다.
• 기하학적 구조를 제어하기 위해 메트릭 계수의 가중치 $L^p$ 추정과 적분 곡률 한계(리치/스칼라 곡률)를 사용한다.
• 엔트로피 함수의 최소화자에 대한 성장과 감쇠를 제어하기 위해 모저 반복 기법과 최대 원리 기법을 적용한다.
• 스케일링된 메트릭과 미분형식을 사용한 팽창(블로업) 추론을 통해 극한 행동을 분석하며, 비유클리드 극한이 존재할 경우 엔트로피가 0에서 멀리 떨어져 있을 수 없음을 보여주며, 이는 모순을 초래한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 수렴 개념인 그로모프-하우스도르프 또는 인트리닉 플랫 수렴이 거의 비음성 스칼라 곡률과 엔트로피를 갖는 다양체의 올바른 기하학적 극한을 포괄할 수 있는가?
• RQ2 왜 표준 거리 기반 수렴 개념은 이 맥락에서 실패하는가? 극한 공간에서 발생하는 구조적 문제들은 무엇인가?
• RQ3 스칼라 곡률과 엔트로피 하한 하에서 분석과 기하학을 유지하는 새로운 수렴 프레임워크가 존재하는가?
• RQ4 이 설정에서 $\epsilon$-정규성 정리가 성립하는가? 즉, 거의 비음성 곡률이 유클리드 공간에 가까워짐을 보장하는가?
• RQ5 작은 스칼라 곡률과 엔트로피 한계를 갖는 다양체 수열의 올바른 극한 범주는 무엇인가?

주요 결과

• $d_p$ 거리 함수는 잘 정의되어 있으며 $p \in (n, \infty]$ 에서 진정한 거리 함수를 이룬다. $d_\infty$ 는 표준 지오데식 거리 함수로 복원된다.
• 고전적 수렴 개념은 실패한다: 스칼라 곡률과 엔트로피가 $-\epsilon_i$ 이하로 떨어지지 않는 수열은 차원, 위상, 심지어 편미분 기하학(핀슬러 유형 기하학)을 갖는 공간으로 수렴할 수 있다.
• $d_p$ 수렴 하에서 스칼라 곡률과 엔트로피 $\geq -\epsilon_i$ 를 갖는 임의의 다양체 수열은 $\epsilon_i \to 0$ 일 때 유클리드 공간으로 $d_p$-수렴해야 하며, 이는 강력한 $\epsilon$-정규성 정리를 확립한다.
• $d_p$ 수렴 하에서의 극한 공간은 표준 거리 함수가 없더라도 잘 정의된 $W^{1,p}$ 이론, 기울기, 절차적 연속 곡선을 갖는 직선화된 리만다이니안 공간이다.
• 엔트로피 함수는 극한에서 0에서 멀리 떨어져 있을 수 없다. $\mu(\tau_i^{-1}g_i,1) = -\eta < 0$ 이라고 가정하면 컴팩턴스와 최소화자의 $L^p$ 수렴을 통해 모순이 발생한다.
• 스케일링된 엔트로피 함수 최소화자의 극한은 $W^{1,2}(\mathbb{R}^{n+1})$ 에 속하며, 오일러-라그랑주 방정식을 만족해야 하며 이는 $\mu_\infty = 0$ 를 의미한다. 이는 $\mu_i = -\eta$ 를 만족하는 것과 모순된다. (큰 $i$ 에서)