[논문 리뷰] Data-driven Distributionally Robust MPC: An indirect feedback approach

Christoph Mark, Steven Liu|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 20.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비정상적이고 상관관계가 있는 외란을 가진 선형 시스템을 대상으로 데이터 기반의 분포로 부터의 강건한 모델 예측 제어(MPC) 프레임워크를 제안한다. 이는 간접 피드백 튜브 기반 접근 방식을 통해 온라인 복잡도를 감소시키는 것이다. 확률적 제약 조건을 워샤프스키(\text{Wasserstein}) 애매함 집합 위에서 분포로 부터의 강건한 조건부가치위험(CVaR)으로 근사하고, 슬랙 변수를 사용하여 제약 조건을 부드럽게 함으로써, 분포 불확실성에 대해 보장된 강건성과 함께 재귀적 타당성 및 확률적 상태 제약 조건 이행을 보장한다.

ABSTRACT

This paper presents a distributionally robust stochastic model predictive control (SMPC) approach for linear discrete-time systems subject to unbounded and correlated additive disturbances. We consider hard input constraints and state chance constraints, which are approximated as distributionally robust (DR) Conditional Value-at-Risk (CVaR) constraints over a Wasserstein ambiguity set. The computational complexity is reduced by resorting to a tube-based MPC scheme with indirect feedback, such that the error scenarios can be sampled offline. Recursive feasibility is guaranteed by softening the CVaR constraint. The approach is demonstrated on a four-room temperature control example.

연구 동기 및 목표

• 비정상적이고 상관관계가 있는 가감성 외란이 존재하는 선형 이산 시간 시스템을 제어하는 데 있어 하드 입력 및 상태 확률적 제약 조건을 해결하는 것.
• 시나리오 기반 확률적 MPC에서 온라인 계산 복잡도를 낮추기 위해 사전에 샘플링된 오차 시나리오를 활용한 튜브 기반 간접 피드백 구조를 도입함으로써 계산 복잡도를 감소시키는 것.
• 워샤프스키 애매함 집합 내에서 분포로 부터의 강건한 CVaR 제약 조건을 활용하여 분포 불확실성 하에서 재귀적 타당성과 확률적 제약 조건 이행을 보장하는 것.
• 확률 분포에 대한 명시적 지식이 필요 없이도 강건성을 유지하는 타당한 샘플 기반 최적화 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 간접 피드백을 활용한 튜브 기반 MPC 기법을 사용하여 명목 경로와 오차 동역학을 분리함으로써 온라인 복잡도를 감소시킨다.
• 외란 분포의 불확실성을 다루기 위해 상태 확률적 제약 조건을 워샤프스키 애매함 집합 위에서 분포로 부터의 강건한 CVaR 제약 조건으로 설정한다.
• 최적화 문제를 슬랙 변수를 사용하여 부드럽게 하여, 분포 변화가 발생하더라도 재귀적 타당성이 보장되도록 한다.
• 오차 시나리오들을 사전에 샘플링하여 시나리오 기반 근사를 적용함으로써, 에피그래프 재구성 기법을 통해 타당한 온라인 최적화를 가능하게 한다.
• 볼록 쌍대성 및 노름 관계를 활용하여 최소-최대 CVaR 문제를 이중 노름과 보조 변수를 포함한 해결 가능한 형태로 재구성한다.
• 안정성과 재귀적 타당성을 확보하기 위해 종단 제약 조건과 종단 피드백 법칙을 통합하며, 종단 집합은 불변성 및 제약 조건을 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시나리오 기반 확률적 MPC의 온라인 계산 복잡도는 어떻게 감소시킬 수 있으며, 분포 불확실성에 대해 강건성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 워샤프스키 애매함 집합 위에서 분포로 부터의 강건한 CVaR 제약 조건은 확률적 제약 조건을 효과적으로 대체할 수 있는가? 그리고 재귀적 타당성은 유지되는가?
• RQ3 사전에 샘플링된 오차 시나리오를 활용한 간접 피드백 튜브 기반 MPC 기법은 비정상적이고 상관관계가 있는 외란 하에서도 폐쇄 루프 제약 조건 이행을 얼마나 잘 유지할 수 있는가?
• RQ4 슬랙 변수는 어떻게 효과적으로 분포로 부터의 강건한 CVaR 제약 조건을 부드럽게 하고, 불확실성 존재 하에서도 재귀적 타당성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 오차 시나리오의 유한한 표본 크기로 분포로 부터의 강건한 CVaR를 사용할 경우, 상태 제약 조건 이행에 대한 확률적 보장 수준은 무엇인가?

주요 결과

• 슬랙 변수를 사용하여 분포로 부터의 강건한 CVaR 제약 조건을 부드럽게 함으로써, 매 시간 단계에서 타당한 해가 존재함을 보장함으로써 재귀적 타당성이 보장된다.
• 정리 1에 의해, $N_s$-중첩 조건부 예측 오차 분포 하에서 상태 제약 조건 이행이 최소 $1 - \beta$ 확률로 보장된다.
• 워샤프스키 애매함 집합의 사용 덕분에 진정한 분포가 알려져 있지 않더라도 외란의 분포 변화에 대해 강건성이 확보된다.
• 튜브 기반 간접 피드백 구조 덕분에 비선형 제어기(예: 포화 제어기)를 활용하여 하드 입력 제약 조건을 처리할 수 있으며, 이는 표준 SMPC에서는 쉽게 달성하기 어려운 점이다.
• 보조 변수 $s_{i,j,t}$, $\tau_{i,t}$, $\lambda_{i,t}$를 포함한 유한 차원 최적화 문제로 분포로 부터의 강건한 CVaR 문제를 재구성함으로써 타당성과 최적 해 수렴성이 보장된다.
• 이 방법은 VaR를 초월하는 폐쇄 루프 상태 제약 조건 이행 보장을 달성하며, 이는 제약 위반의 빈도와 심각도가 모두 페널티를 받는다는 것을 의미하므로 안전성 성능이 향상된다.