[논문 리뷰] Data-driven distributionally robust MPC using the Wasserstein metric

Zhengang Zhong, Ehecatl Antonio del Rio‐Chanona외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 18.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 14인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 경험적 데이터 분포 주변의 모호성 집합을 정의하기 위해 워샤프스키 메트릭을 사용하여 선형 시스템에 대한 데이터 기반 분포로 불확실성에 강건한 모델 예측 제어(MPC) 프레임워크를 제안한다. 볼록 콘 프로그래밍을 풀어, 재귀적 타당성과 유한 샘플 보장을 보장하며, 기존의 전통적 강건 또는 확률적 MPC 접근 방식에 비해 보수성을 감소시켜 모델 불확실성 하에서도 제약 조건을 충족시킨다.

ABSTRACT

A data-driven MPC scheme is proposed to safely control constrained stochastic linear systems using distributionally robust optimization. Distributionally robust constraints based on the Wasserstein metric are imposed to bound the state constraint violations in the presence of process disturbance. A feedback control law is solved to guarantee that the predicted states comply with constraints. The stochastic constraints are satisfied with regard to the worst-case distribution within the Wasserstein ball centered at their discrete empirical probability distribution. The resulting distributionally robust MPC framework is computationally tractable and efficient, as well as recursively feasible. The innovation of this approach is that all the information about the uncertainty can be determined empirically from the data. The effectiveness of the proposed scheme is demonstrated through numerical case studies.

연구 동기 및 목표

• 모델 불확실성 하에서 제약 조건이 있는 선형 시스템을 제어할 때 기존의 강건 MPC(과도한 보수성)와 확률적 MPC(분포 불일치에 민감함)의 한계를 해결한다.
• 진정한 외란 분포에 대한 사전 지식이 필요 없이 경험적 데이터를 활용하여 모호성 집합을 정의하는 데이터 기반 MPC 프레임워크를 개발한다.
• 과정 외란이 존재하는 상황에서 분포로 불확실성 최적화를 통해 재귀적 타당성과 유한 샘플 성능 보장을 보장한다.
• 경험적 분포 중심의 워샤프스키 볼 안에서 최악의 평균 비용을 최소화하여 계산 가능하고 강건한 제어 설계를 가능하게 한다.
• 질량-스프링 시스템과 역퍼레드 펜듈럼에 대한 수치 사례 연구를 통해 제안된 방법의 유효성을 입증한다. 다양한 샘플 크기와 워샤프스키 볼 반경을 고려한다.

제안 방법

• 역사적 데이터의 경험적 분포 중심에 위치한 워샤프스키 볼을 모호성 집합으로 정의하고, p-워샤프스키 메트릭을 사용하여 분포 불확실성을 정량화한다.
• 워샤프스키 기반 DRO의 계산 가능 재구성 기법을 활용하여 분포로 불확실성 최적화 문제를 볼록 콘 프로그래밍으로 재구성함으로써 계산 효율성을 확보한다.
• 워샤프스키 볼 내의 최악의 분포에 대해 고려된 제약 조건을 충족시키는 분포로 불확실성 확률 제약 조건을 통합한다.
• 볼록 최적화 문제의 해로부터 유도된 피드백 제어 법칙을 사용하여 재귀적 타당성과 강건한 상태 궤적 진화를 보장한다.
• 매 샘플링 시간마다 새로 수집된 데이터를 사용하여 볼록 콘 프로그래밍을 재해결하는 온라인 알고리즘을 구현함으로써 실시간 적응을 가능하게 한다.
• 가감성 과정 외란을 가진 선형 정수계 시스템에 프레임워크를 적용하고, 상태 및 측정 노이즈 모델을 사용하여 현실적인 불확실성을 시뮬레이션한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워샤프스키 메트릭 기반의 데이터 기반 MPC 프레임워크는 모델 불확실성 하에서도 유한 샘플 보장을 통해 강건한 제약 조건 충족을 달성할 수 있는가?
• RQ2 워샤프스키 볼의 크기(즉, 반경)는 제약 조건 위반과 제어 보수성 사이의 트레이드오프에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 경험적 샘플 수는 분포로 불확실성 MPC 컨트롤러의 신뢰성과 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 기존의 강건 및 확률적 MPC 접근 방식과 비교할 때 제안된 방법은 보수성과 제약 조건 충족 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 제한된 데이터 하에서도 재귀적 타당성과 계산 가능성을 유지하면서 강건한 성능을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 하나의 샘플만으로도 컨트롤러는 심각한 제약 위반과 진동 행동를 보이며, 극도로 제한된 데이터 하에서는 신뢰성이 낮음을 시사한다.
• 샘플 수가 다섯 개를 초과하면 50회의 실현에서 일관되게 제약 조건 충족이 달성되며, 데이터 증가에 따라 신뢰성이 향상됨을 보여준다.
• 역퍼레드 펜듈럼의 경우, 워샤프스키 볼 반경이 5일 때 약 80% 확률로 제약 조건을 충족하고, 반경 3일 땐 65%의 충족률을 기록하여 강건성과 보수성 사이의 명확한 트레이드오프를 보여준다.
• 워샤프스키 반경을 0.01에서 100으로 증가시키면 제약 조건 충족 신뢰도는 단조적으로 증가하지만, 동시에 너무 보수적인 제어 행동(예: 각속도가 상한선 대비 6% 감소)을 초래한다.
• 이 방법은 유한 샘플 성능 보장을 달성하고 계산 가능성이 있으며, 매 샘플링 시간마다 볼록 콘 프로그래밍 한 번만 풀면 된다.
• 수치 결과는 제안된 방법이 재귀적 타당성을 유지하고 제한된 데이터 하에서도 안정성과 제약 조건 준수를 유지함을 확인하며, 기존 방법에 비해 보수성을 감소시키고 강건성을 향상시킨다.