[논문 리뷰] On the rate of convergence in Wasserstein distance of the empirical measure

Nicolas Fournier, Arnaud Guillin|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 07.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 43인용 수 930

한 줄 요약

이 논문은 Wasserstein 거리의 순서 $p>0$ 에서 진짜 분포로의 경험 측도의 수렴 속도에 대한 비 渐近적 $L^p$-모멘트 경계와 농도 불등식을 수립한다. 차원 $d$, 분포의 모멘트 조건, 그리고 독립적이지 않은 시계열과 입자 시스템으로의 결과 확장까지 고려하여, 최소한의 모멘트 가정 하에 최적의 속도를 보여준다.

ABSTRACT

Let $\\mu_N$ be the empirical measure associated to a $N$-sample of a given probability distribution $\\mu$ on $\\mathbb{R}^d$. We are interested in the rate of convergence of $\\mu_N$ to $\\mu$, when measured in the Wasserstein distance of order $p>0$. We provide some satisfying non-asymptotic $L^p$-bounds and concentration inequalities, for any values of $p>0$ and $d\\geq 1$. We extend also the non asymptotic $L^p$-bounds to stationary $\ ho$-mixing sequences, Markov chains, and to some interacting particle systems.

연구 동기 및 목표

• Wasserstein 거리 $\mathcal{W}_p$ 에서 $p>0$ 에 대해 경험 측도 $\mu_N$ 이 진짜 측도 $\mu$ 로 수렴하는 속도를 정량화하는 것.
• 모든 $N \geq 1$ 에 대해 유효한 비 渐近적 $L^p$-모멘트 경계와 농도 불등식을 도출하는 것, 특히 극한에서만 성립하는 것이 아닌 경우를 포함하여.
• i.i.d. 표본을 넘어서 $\rho$-혼합 시계열, 마르코프 체인, 그리고 McKean-Vlasov 입자 시스템으로 결과를 확장하는 것.
• 차원 $d$, 측도 $\mu$ 의 모멘트 조건, 그리고 $\mathcal{W}_p$ 에서의 수렴 속도 간의 상호작용을 규명하는 것.

제안 방법

• 모멘트 조건 $M_q(\mu) < \infty$ for $q > p$ 와 지수 모멘트 $\mathcal{E}_{\alpha,\gamma}(\mu)$ 를 사용하여 워셔스타인 거리를 제어한다.
• Dereich, Scheutzow, and Schottstedt (2013) 의 기법을 적용하여 $\mathbb{E}[\mathcal{T}_p(\mu_N, \mu)]$ 에 대한 날카운 경계를 유도한다.
• 공분산 감쇠 추정과 헬더 부등식을 활용하여 마르코프 체인과 $\rho$-혼합 시계열과 같은 종속적 과정을 다룬다.
• 이중 분할 및 커버링 추론을 사용하여 작은 집합 위에서 경험 측도의 $L^p$-노름을 통한 워셔스타인 거리 제어.
• McKean-Vlasov 입자 시스템에 대해 혼돈의 전파 프레임워크를 적용하여 입자 시스템의 경험 측도를 비선형 SDE 해와 비교한다.
• 모멘트 경계를 입자 시스템의 기존 $L^2$-수렴 속도와 조합하여 $\mathcal{W}_2$ 에서의 전체 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Wasserstein 거리 $\mathcal{W}_p$ 에서 $p>0$ 에 대해 경험 측도 $\mu_N$ 이 $\mu$ 로 수렴하는 비 渐近적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 수렴 속도는 차원 $d$, 모멘트 순서 $p$, 그리고 $\mu$ 의 尾행동에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 모멘트 조건이 만족되는 경우, $L^p$-모멘트 경계는 $\rho$-혼합 시계열과 마르코프 체인과 같은 종속적 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 McKean-Vlasov SDE를 근사하는 입자 시스템의 $\mathcal{W}_2$ 에서의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 특정 경우, 예를 들어 이산 또는 균일 분포에서 알려진 하한과 비교해 볼 때 경계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 $p > d/2$ 에 대해, $M_q(\mu) < \infty$ for $q > p$ 라면 속도는 $O(N^{-1/2} + N^{-(q-p)/q})$ 이며, $p = d/2$ 에서는 로그 보정이 필요하다.
• 모든 $p < d/2$ 에 대해, 속도는 $O(N^{-p/d} + N^{-(q-p)/q})$ 이며, 이는 $[-1,1]^d$ 에서 균일 분포에 대해 알려진 하한 $\Omega(N^{-p/d})$ 와 일치한다.
• 모든 $p = d/2 = 1$ 인 경우, 속도는 $O(N^{-1/2}\log(1+N))$ 이며, 이는 균일 분포에 대해 Ajtai-Komlós-Tusnády 결과와 일치한다.
• $\rho$-혼합 시계열과 정적 마르코프 체인의 경우, 초기 분포의 $L^r$-적분 가능성과 기하학적 정적성 조건 하에 속도는 여전히 $O(N^{-1/2})$ 이다.
• McKean-Vlasov 입자 시스템의 경우, 전체 수렴 속도는 $\mathcal{W}_2$ 에서 $O(\alpha(N) + \beta(N))$ 이며, 여기서 $\alpha(N) = N^{-1}$ (로그-소볼레프 경우) 또는 $N^{-1/(α-1)}$ (다항형 포텐셜), $\beta(N)$ 은 $d$ 에 따라 달라지는 i.i.d. 속도이다.
• 경계는 날카롭다: 분리된 원자들을 가진 모든 측도에 대해 $N^{-1/2}$ 순서의 하한이 존재하며, 균일 분포의 경우 $N^{-p/d}$ 이다. 이는 유도된 속도의 최적성을 확인한다.