[논문 리뷰] Deep-learning based numerical BSDE method for barrier options

Bing Yu, Xiaojing Xing외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 바리어 옵션 가격 정책을 위한 딥러닝 기반 수치 방법을 제안한다. 편미분방정식(PDE)의 종료 조건과 경계 조건을 표준 후행 확률 미분 방정식(BSDE) 문제로 재구성함으로써 이를 달성한다. 브라운 운동 다리(Brownian motion bridges)를 통해 바리어 위반 확률을 종료 조건에 통합함으로써, 신경망이 BSDE의 Z-과정을 근사함으로써 다양한 시장 조건에서 높은 정확도를 달성한다. 특히 배치 정규화를 통해 수렴 안정성을 확보한다.

ABSTRACT

As is known, an option price is a solution to a certain partial differential equation (PDE) with terminal conditions (payoff functions). There is a close association between the solution of PDE and the solution of a backward stochastic differential equation (BSDE). We can either solve the PDE to obtain option prices or solve its associated BSDE. Recently a deep learning technique has been applied to solve option prices using the BSDE approach. In this approach, deep learning is used to learn some deterministic functions, which are used in solving the BSDE with terminal conditions. In this paper, we extend the deep-learning technique to solve a PDE with both terminal and boundary conditions. In particular, we will employ the technique to solve barrier options using Brownian motion bridges.

연구 동기 및 목표

• 기존에 종료 조건만을 다루는 머신러닝 기반의 PDE 가격 정책에 비해 종료 조건과 경계 조건을 모두 포함하는 바리어 옵션의 가격 정책 문제를 해결하기 위해.
• 이전에 종료 조건 PDE에 국한되어 있던 딥러닝 기반 BSDE 프레임워크를 디리클레 유형의 경계 조건을 갖는 문제로 확장하기 위해.
• 복잡한 경계 제약 조건 하에서 신경망 학습의 수렴성과 안정성을 향상시키기 위해.
• 다양한 시장 파라미터에 걸쳐 분석적 해와의 비교를 통해 제안된 방법의 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 브라운 운동 다리를 통해 바리어 위반 확률을 통합함으로써 바리어 옵션의 PDE를 종료 조건을 갖는 BSDE로 재구성한다.
• 신경망을 사용하여 BSDE의 Z-과정을 근사하며, 시간에 따라 변화하는 배치 정규화 파라미터 β_{t_i}를 활용해 학습을 안정화시킨다.
• 오일러 스킴을 적용하여 이산 시간 단계에서 정방향(X_t) 및 역방향(Y_t, Z_t) 과정을 이산화한다.
• 종료 조건 오차 기반 손실 함수 E[(Y_T - h(X_T))²]를 정의하고, 확률적 경사하강법을 통해 최소화한다.
• 입력층 또는 각 레이어에 배치 정규화를 도입하여 공변수 이동을 줄이고 수렴 속도를 향상시킨다.
• 레마 2에 제시된 확률적 항등식을 활용하여 바리어 사건을 포함한 조건부 기대값을 전체 확률 공간에 대한 기대값으로 변환함으로써 계산 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딥러닝 기반 BSDE 프레임워크는 바리어 옵션과 같은 경계 조건을 갖는 PDE를 해결하는 데까지 확장될 수 있는가?
• RQ2 반사 BSDE나 페널티 함수를 사용하지 않고, 바리어 옵션의 경계 조건을 BSDE의 종료 조건에 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ3 복잡한 경계 제약 조건 하에서 신경망 학습의 수렴성과 안정성 향상에 배치 정규화가 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 방법의 성능은 다양한 시장 조건에서 분석적 해와 비교해 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 100개의 테스트 케이스 평균에서 상대 오차가 1% 이하로 유지되며, 중앙값 상대 오차는 0.39%이고 25% 분위수 오차는 0.21%이다.
• 고휘도 또는 극단적인 내재가치 상황에서는 배치 정규화 없이 18% 이상이었던 상대 오차가 배치 정규화를 적용한 후 0.65%로 감소하였다.
• 레이어별 배치 정규화 대비 입력층에만 배치 정규화를 적용했을 때 총 학습 시간이 약 3배 단축되었으며(75초 대비 200초), 비록 반복 횟수가 더 많아졌지만 효율성이 향상되었다.
• 브라운 운동 다리를 활용한 경계 조건의 통합은 표준 딥 BSDE 프레임워크를 수정하지 않고도 종료 조건에 경계 조건을 효과적으로 통합할 수 있도록 하였다.
• 만기, 행사가, 변동성의 광범위한 범위에서 일관된 성능을 유지하며 고차원 또는 경로에 의존하는 설정에서도 강건성을 확보하였다.
• 레마 2를 통한 이론적 근거는 조건부 기대값에서 무조건적 기대값으로의 변환 과정이 수학적으로 타당하고 계산적으로 실현 가능하다는 점을 보장한다.