[논문 리뷰] Defects, dualities and the geometry of strings via gerbes II. Generalised geometries with a twist, the gauge anomaly and the gauge-symmetry defect

Rafał R. Suszek|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비선형 시그마 모델에 있는 등각 결함을 가진 목적 공간의 일반화된 접속(bundle)에 대해 새로운 비틀린 상대 코르누트 대수다발 구조를 제안하며, 대칭 대수군, 게이지 양자역학적 이상, 게르베 이론 기반 기하학을 통합한다. 이는 소형 및 대형 게이지 이상에 대한 코homological 해석을 통해 월드시트 이론에서 게이지 대칭 결함과 전역 위상적 장애물 사이의 이중성을 드러낸다.

ABSTRACT

This is the second in a series of papers discussing in the framework of gerbe theory canonical and geometric aspects of the 2d nonlinear sigma model in the presence of conformal defects in the worldsheet. Employing the formal tools worked out in the first paper of the series, 1101.1126 [hep-th], a thorough analysis of rigid symmetries of the sigma model is carried out with emphasis on algebraic structures on generalised tangent bundles over the target space of the theory and over its state space that give rise to a realisation of the symmetry algebra on states. The analysis leads to a proposal for a novel differential-algebraic construct extending the original definition of the (gerbe-twisted) Courant algebroid on the generalised tangent bundles over the target space in a manner codetermined by the structure of the 2-category of abelian bundle gerbes with connection over it. The construct admits a neat interpretation in terms of a relative Cartan calculus associated with the hierarchy of manifolds that compose the target space of the multiphase sigma model. The paper also discusses at length the gauge anomaly for the rigid symmetries, derived and quantified cohomologically in a previous work of Gawȩdzki, Waldorf and the author. The ensuing reinterpretation of the small gauge anomaly in terms of the twisted rel. Courant algebroid modelling the Poisson algebra of Noether charges of the symmetries is elucidated through an equivalence between a category built from data of the gauged sigma model and that of principal bundles over the worldsheet with a structural action groupoid based on the target space. Finally, the large gauge anomaly is identified with the obstruction to the existence of topological defect networks implementing the action of the gauge group of the gauged sigma model and those giving a local trivialisation of a gauge bundle of an arbitrary topology over the worldsheet.

연구 동기 및 목표

• 등각 결함을 가진 다상태 비선형 시그마 모델에서의 강성 대칭에 대한 미분-대수적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 일반화 기하학과 게르베 이론을 사용하여 노이터 노르드의 기하학적 실현과 그 보존 법칙을 결함을 통해 통합하기 위해.
• 소형 및 대형 게이지 이상을 비틀린 상대 코homology와 군oids 카테고리의 장애물에 기반한 코homological 특성으로 기술하기 위해.
• 일관된 게이지화된 시그마 모델의 카테고리와 구조적 작용 군oids를 가진 주요 다발 사이의 카테고리 동치를 확립하여, 위상적 결함 네트워크의 역할을 명확히 하기 위해.
• 비틀림 섹터와 비틀림이 없는 섹터를 모두 포함하는 대칭의 기하 기술을 비노그라드 대수다발과 이중 브레인 데이터를 통해 확장하기 위해.

제안 방법

• 연결을 가진 아벨 다발 게르베를 사용하여 목적 공간의 일반화된 접속 다발 위에 비틀린 상대 코르누트 대수다발을 구성한다.
• 결함에 의해 유도된 대칭과 웨스-줄리노 항을 고려한 브라켓 구조를 정의하기 위해 상대 카르탕 미적분을 적용한다.
• 웨스-줄리노 항을 모델링하고 목적 공간 내의 결함의 위상적 데이터를 코어프레임으로 기록하기 위해 델리네 하이퍼코homology를 사용한다.
• 소형 게이지 이상을 상태 위에서 대칭 대수군이 해밀토니안 실현을 가지지 못하는 데서 기인하는 장애물로 재해석하며, 이는 상대 비틀린 코르누트 대수다발 내에서 리브니츠, 자코비, 비틀림 불변성 이상의 복합체로 기인한다.
• 일관된 게이지화된 시그마 모델의 카테고리와 월드시트 위의 주요 다발 사이의 카테고리 동치를 확립하며, 구조적 군oids Gσ⋉F를 사용한다.
• 지역 또는 전역적으로 게이지 변환을 실현하는 위상적 결함 네트워크를 구성하며, 이는 이전 연구에서 제안된 심플리셜 이중성 배경을 직접적으로 실현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비선형 시그마 모델에 등각 결함이 존재할 때, 일반화 기하학을 사용하여 상태 공간 위에서 대칭 대수군을 어떻게 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 비틀린 상대 코르누트 대수다발에 기반한 소형 게이지 이상의 코homological 해석은 무엇인가?
• RQ3 결함 네트워크가 어떻게 게이지 대칭을 실현하며, 임의의 게이지 다발 위상에 대해 발생하는 장애물은 무엇인가?
• RQ4 일관된 게이지화된 시그마 모델의 카테고리와 구조적 작용 군oids를 가진 주요 다발 사이의 카테고리 동치는 무엇인가?
• RQ5 대형 게이지 이상은 일관된 양자 CFT가 위상적 게이지 대칭 결함을 가진다 하더라도 존재할 수 있는지 여부와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 새로운 비틀린 상대 코르누트 대수다발이 기존 코르누트 대수다발의 미분-대수적 확장으로서 구성되며, 이는 연결을 가진 아벨 다발 게르베의 2-카테고리에 의해 공정하게 결정된다.
• 소형 게이지 이상은 상태 위에서 대칭 대수군이 해밀토니안 실현을 가지지 못하는 데서 기인하는 장애물로 재해석되며, 이는 상대 비틀린 코르누트 대수다발 내에서 리브니츠, 자코비, 비틀림 불변성 이상의 복합체로 기인한다.
• 작용 군oids Gσ⋉F의 접속 대수다발은 비틀린 코르누트 대수다발 내에서 리 대수다발을 형성하는 데 실패하는 장애물로서 자연스럽게 나타나며, 이는 이상을 군oids의 구조와 연결한다.
• 일관된 게이지화된 시그마 모델의 카테고리(전역 단면을 가진 경우)와 구조적 작용 군oids Gσ⋉F를 가진 월드시트 위의 주요 다발의 군oids 사이에 카테고리 동치가 확립된다.
• 게이지 변환을 실현하기 위해 위상적 결함 네트워크를 명시적으로 구성하였으며, 이는 이전 연구에서 제안된 심플리셜 이중성 배경을 직접적인 실현으로 제공한다.
• 대형 게이지 이상은 임의의 게이지 다발 위상에 대해 일관된 양자 CFT의 존재를 방해하는 장애물로 규명되며, 이는 동일하게 임의의 위상 타입의 게이지 장과의 결합을 방해하는 장애물로도 기술될 수 있다.