[논문 리뷰] Deflection angle of charged massive particles in slowly rotating Kerr-Newman space-times via Gauss-Bonnet theorem and Hamilton-Jacobi method

Kimet Jusufi|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 26.

Astrophysical Phenomena and Observations인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 빛보다 느린 회전하는 킬러-뉴먼(black hole)에서 상대론적이고 전하를 띤 무거운 입자의 중력 렌즈 효과를 계산하기 위해 두 가지 방법을 사용한다: 광학 기하학에 적용한 가우스-보네 정리와 해밀턴-자비 방법. 결과적으로, 굴절 각도는 블랙홀 질량 $M$, 각운동량 $a$, 전기 전하 $Q^2$, 자석 전하 $P^2$, 입자 전하 $q$, 그리고 상대론적 속도 $v$에 의존하며, 속도에 따라 변형되는 보정 항이 있을 경우에도 형태가 변하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper the problem of gravitational deflection of relativistic charged massive particles in slowly rotating Kerr-Newman black holes is considered. Toward this purpose we have used two methods: Firstly, we have applied the Gauss-Bonnet theorem (GBT) and the optical geometry to evaluate the deflection angle of charged particles. Secondly, we have presented a detailed analysis of the deflection angle by means of the Hamilton-Jacobi equation recovering the same invariant result for the deflection angle in leading order terms. The crucial point behind the first method is to use the correspondence between the motion of a charged massive particles in a gravitational field in presence of electromagnetic field and the motion of photons in a non-homogeneous cold plasma. It is shown that the deflection angle besides the black hole (BH) mass $M$, BH angular momentum $a$, BH electric charge $Q^2$, BH magnetic charge $P^2$, it is also affected by the electric charge of the particle $q$ and relativistic velocity of the particle $v$.

연구 동기 및 목표

• 정적인 시공간에서의 질량이 있는 입자의 굴절에 관한 이전 결과를 정적인 킬러-뉴먼 블랙홀로 확장하기 위해.
• 블랙홀의 전기 및 자석 전하와 입자의 전하 및 속도가 중력 렌즈 효과에 어떻게 영향을 주는지 조사하기 위해.
• 가우스-보네 정리와 광학 기하학을 사용한 방법과 해밀턴-자비 방정식을 사용한 방법을 독립적으로 적용하여 굴절 각도를 검증하기 위해.
• 빛의 경우를 초월하여 상대론적 속도와 입자 전하가 굴절 각도에 미치는 영향을 탐구하기 위해.
• 굴절 각도가 속도에 따라 변형되는 보정 항이 있을 경우에도 형태가 변하지 않음을 입증하여, 렌즈 효과의 전역 기하학적 특성을 강조하기 위해.

제안 방법

• 킬러-뉴먼 시공간에서 유도된 광학 메트릭에 대해 가우스-보네 정리(GBT)를 적용하여, 전하를 띤 무거운 입자의 운동을 비균일한 플라즈마에서의 광자 전파와 동치로 간주한다.
• 중력-전자기장 내에서 비지오데식 운동을 하는 전하를 띤 무거운 입자의 운동과 효과적인 굴절률을 가진 플라즈마 매질에서의 광자 전파 간의 대응 관계를 이용한다.
• 등위면($\theta = \pi/2$)에서 광학 메트릭을 구성하고, 블랙홀의 각운동량 $a$에 대해 선형화하여 계산을 단순화한다.
• 가우스 곡률을 광학 표면 전체에 걸쳐 적분하여 GBT를 통해 총 굴절 각도를 계산하며, 입자 속도 $v$와 전하 $q$를 고려한다.
• 킬러-뉴먼 배경에서 입자의 행동에 대한 해밀턴-자비 방정식을 풀어 동일한 굴절 각도를 회복한다.
• 두 방법의 결과를 비교하여 일관성을 확인하고, 굴절 각도 표현이 속도 및 전하 보정 항에 대해 형태가 변하지 않음을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대론적 전하를 띤 무거운 입자의 굴절 각도는 블랙홀의 질량, 각운동량, 전기/자석 전하에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 입자의 전기 전하 $q$와 상대론적 속도 $v$는 킬러-뉴먼 시공간에서 중력 렌즈 효과에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ3 가우스-보네 정리는 광자 경우를 초월하여 정적 시공간에서 질량이 있고 전하를 띤 입자의 굴절 각도를 계산하는 데 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 자석 전하 $P^2$의 포함이 굴절 각도에 어떤 영향을 미치며, 이 효과는 전기 전하 기여와 구별 가능한가?
• RQ5 굴절 각도 표현이 속도에 따라 변형되는 보정 항이 있을 경우에도 형태가 변하지 않으며, 이는 렌즈 효과의 전역 기하학적 해석을 지지하는가?

주요 결과

• 굴절 각도는 $\hat{\alpha} \simeq \frac{2M}{b}\left(1+\frac{1}{v^{2}}\right) - \frac{\pi Q^{2}}{4b^{2}}\left(1+\frac{2}{v^{2}}\right) - \frac{2qQ}{bv^{2}E} - \frac{3\pi qMQ}{b^{2}E\,v^{2}} \pm \frac{4aM}{b^{2}v} \pm \frac{Q^{2}a\pi}{b^{3}v}$ 로 주어지며, $M$, $a$, $Q^2$, $q$, $v$, $E$에 의존함을 보여준다.
• 자석 전하 $P^2$의 포함은 $\tilde{Q}^{2}_{m} = Q^2 + P^2$를 통해 굴절 각도를 수정하며, $\tilde{Q}^{2}_{m}$이 증가할수록 $\hat{\alpha}$가 증가한다.
• 입자 속도 $v$가 감소할수록 굴절 각도가 증가하며, $v \to c$의 극한에서 빛의 굴절 각도에 수렴한다.
• 해밀턴-자비 방법을 통해 GBT와 동일한 굴절 각도를 재현하여 결과의 일관성과 타당성을 확인하였다.
• 굴절 각도는 속도 및 전하 보정 항이 있을 경우에도 형태가 변하지 않으며, 이는 렌즈 행동을 지배하는 전역 기하학적 효과가 우세하다는 것을 시사한다.
• 비상대론적 입자($v \to 0$)의 경우 굴절 식에 특이점이 발생하여 방법이 붕괴되며, 이는 적용 범위를 상대론적 전하를 띤 입자로 국한시킨다.