[논문 리뷰] Deformation Quantization of Surjective Submersions and Principal Fibre Bundles

Martin Bordemann, Nikolai Neumaier외 2명|ArXiv.org|2007. 11. 19.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 암시적 서브머ersion과 주기저층다발에 대한 변형 양자화 프레임워크를 제안하며, 전체 공간 위의 함수들이 기저 위의 스타곱 대수에 대한 오른쪽 모듈로 변형되고 주기적 작용에 대해 불변함을 보장한다. 핵심 결과는 이러한 변형의 존재성과 유일성이며, 특히 심플렉틱 설정에서 비자명한 체르누 클래스가 존재할 경우, 끌올림 맵을 대수적 호모모르피즘으로 올리는 데 있어 위상적 장애물이 존재한다는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we establish a notion of deformation quantization of a surjective submersion which is specialized further to the case of a principal fibre bundle: the functions on the total space are deformed into a right module for the star product algebra of the functions on the base manifold. In case of a principal fibre bundle we require in addition invariance under the principal action. We prove existence and uniqueness of such deformations. The commutant within all differential operators on the total space is computed and gives a deformation of the algebra of vertical differential operators. Applications to noncommutative gauge field theories and phase space reduction of star products are discussed.

연구 동기 및 목표

• 형식적 스타곱을 사용하여 암시적 서브머전과 주기저층다발의 일致한 변형 양자화를 정의하기.
• 변형에서 주기적 군 작용과의 호환성을 확보하기 위해 변형된 곱에 대해 G-불변성을 요구함.
• 전체 공간 위의 이러한 변형된 모듈러 구조의 존재성과 유일성을 확립하기.
• 수직 미분 연산자 대수 내에서 변형된 대수의 중심을 계산하여, 수직 미분 연산자 대수의 변형을 도출하기.
• 특히 기저 다발이 비자명한 선다발을 가질 경우, 끌올림 맵을 대수적 호모모르피즘으로 올리는 데의 장애를 규명하기.

제안 방법

• 전체 공간 위의 매끄러운 함수 대수에 기저 다발 위의 스타곱 대수에 대한 오른쪽 모듈 구조를 도입함으로써 암시적 서브머전의 변형 양자화를 정의한다.
• 다발의 구조와 호환되도록 주기적 작용에 대해 변형된 곱이 G-불변이 되도록 조건을 도입한다.
• 전체 공간 위의 매끄러운 함수의 위상적 바르 및 코스졸 복합체를 사용하여 변형 코homology를 분석한다.
• 전체 공간의 미분 연산자 대수 내에서 변형된 기저 대수의 중심으로서 수직 미분 연산자 대수의 변형된 대수를 구성한다.
• 유도된 벡터 다발에 대해 이론을 적용하여, 변형된 내적 대수가 모리타 등가 이중모듈러로 나타남을 보인다.
• 드람 코hom올로지에서의 체르누 클래스 장애를 사용하여, 비자명한 다발에서는 특정한 끌올림 대수적 호모모르피즘의 존재가 불가능함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기저층다발의 변형 양자화를 일致적으로 정의할 수 있는가? 특히 전체 공간의 함수들이 기저의 스타곱 대수에 대한 G-불변 오른쪽 모듈이 되도록 하는가?
• RQ2 기저에서 전체 공간으로의 끌올림 맵이 변형된 설정에서 G-등변 대수적 호모모르피즘으로 올라갈 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 전체 공간의 수직 미분 연산자 대수 내에서 변형된 기저 대수의 중심은 어떤 구조를 가지는가?
• RQ4 위상적 불변량인 첫 번째 체르누 클래스는 심플렉틱 설정에서 이러한 변형의 존재를 어떻게 방해하는가?
• RQ5 주기저다발에서 유도된 벡터다발에 대해 변형된 설정에서 모리타 등가가 유지되는가?

주요 결과

• 암시적 서브머전의 변형 양자화가 존재하며, 그 유일성이 보장되며, 전체 공간의 함수들이 기저의 스타곱 대수에 대한 G-불변 오른쪽 모듈을 이룬다.
• 수직 미분 연산자 대수 내에서 변형된 기저 대수의 중심은 고전적 수직 미분 연산자 대수의 변형을 이룬다.
• 기저에 심플렉틱 스타곱이 존재할 경우, 끌올림 맵을 G-등변 대수적 호모모르피즘으로 올리는 것은 주기저 다발이 충분히 비자명할 경우 장애를 겪는다. 즉, 비자명한 선다발이 존재하고 그 첫 번째 체르누 클래스가 0이 아닐 경우이다.
• 이 장애는 스타곱의 상대 클래스에 대한 모순에서 기인한다: 하나의 표현에서는 상대 클래스가 0이 되어야 하고, 다른 표현에서는 비자명해야 하므로 등가 조건을 위반한다.
• 호프 피브레이션 $ S^3 \to S^2 $ 는 비자명한 $ c_1(L_n) = n c_1(L_1) \neq 0 $ 이며 $ n \neq 0 $ 일 때 이러한 장애가 발생하는 구체적인 예를 제공한다.
• 기저 다발이 비자명할 경우, 두 개의 다른 스타곱 $ \star $ 와 $ \star'_{M} $ 에 대해 $ C^\infty(P)[[\lambda]] $ 에서 G-불변 이중모듈러 구조를 변형할 수 없다. 이는 체르누 클래스의 불일치 때문이기 때문이다.