[논문 리뷰] Deformations of algebras over operads and Deligne's conjecture

Maxim Kontsevich, Yan Soibelman|ArXiv.org|2000. 01. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 93

한 줄 요약

이 논문은 $A_\infty$ 대수의 Hochschild 코호류이론의 변형 이론에 대해 Grothendieck-Teichmüller 군의 호모토피 작용을 수립하며, little disks 작용의 자유 해체를 통해 Deligne의 추측을 증명하고, 구성공간의 Fulton-MacPherson 컴팩티피케이션을 통해 Hochschild 복합체에 작용하는 작용소 $M$을 구성한다.

ABSTRACT

In present paper we develop the deformation theory of operads and algebras over operads. Free resolutions (constructed via Boardman-Vogt approach) are used in order to describe formal moduli spaces of deformations. We apply the general theory to the proof of Deligne's conjecture. The latter says that the Hochschild complex of an associative algebra carries a canonical structure of a dg-algebra over the chain operad of the little discs operad. In the course of the proof we construct an operad of geometric nature which acts on the Hochschild complex. It seems to be different from the brace operad (the latter was used in the previous approaches to the Deligne's conjecture). It follows from our results that the Grothendieck-Teichmüller group acts (homotopically) on the moduli space of structures of 2-algebras on the Hochschild complex. In the Appendix we develop a theory of piecewise algebraic chains and forms. It is suitable for real semialgebraic manifolds with corners (like Fulton-Macpherson compactifications of the configuration spaces of points).

연구 동기 및 목표

• 작용소의 대수에 대한 변형 이론을 형식적 점을 가진 dg-다양체를 통해 개발한다.
• 연결성과 $A_\infty$ 대수의 변형 이론에서 Grothendieck-Teichmüller 군이 나타나는 이유를 설명한다.
• 구성공간의 컴팩티피케이션을 통해 little disks 작용소가 Hochschild 복합체에 작용하도록 함으로써 Deligne의 추측을 증명한다.
• GT 작용을 통해 모티브릭 갈루아 군, 주기, 그리고 양자화된 대수의 모듈리 공간 간의 연결 고리를 수립한다.
• 모서리가 있는 실수 준대수다양체에 대해 조각적 대수적 체인 이론을 도입하여 구성공간 컴팩티피케이션에 적용 가능하게 한다.

제안 방법

• 작용소의 대수에 대한 변형 함수를 제어하기 위해 형식적 점을 가진 dg-다양체를 구성한다.
• 자기 해체를 대신하여 Boardman-Vogt의 영감을 받은 작용소의 자유 해체를 사용하여 변형 이론을 모델링한다.
• Hochschild 복합체 $C^\bullet(A,A)$에 작용하는 작용소 $M$을 정의하고, Fulton-MacPherson 컴팩티피케이션을 통해 little disks 작용소와 quasi-isomorphic임을 보인다.
• 실수 준대수다양체에 모서리가 있는 경우에 대해 조각적 대수적 체인 이론을 적용하여 증명에서 적분과 형식성 문제를 다룬다.
• Hochschild 복합체에 $E_2$-구조의 모듈리 공간에 대해 Grothendieck-Teichmüller 군의 호모토피 작용을 수립한다.
• 특성 0에서 작용소 이론적 구성의 형식화를 위해 다항식 함자와 대칭군 작용의 틀을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작용소의 대수에 대한 변형 이론은 형식적 점을 가진 dg-다양체를 통해 어떻게 공식화될 수 있는가?
• RQ2 왜 Grothendieck-Teichmüller 군은 $A_\infty$ 대수의 Hochschild 코호열 복합체에 호모토피적으로 작용하는가?
• RQ3 Deligne의 추측을 실현하는 Hochschild 복합체에 대한 정확한 작용소적 구조는 무엇인가?
• RQ4 변형 양자화 공식의 계수들은 주기와 모티브릭 갈루아 군과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 Deligne의 추측 증명은 little disks 작용소의 고차원 유사체로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $A_\infty$ 대수의 Hochschild 복합체 $C^\bullet(A,A)$는 자연스럽게 little disks 작용소의 작용을 가지며, 이는 Deligne의 추측을 확인한다.
• Grothendieck-Teichmüller 군은 little disks 작용소와 quasi-isomorphic인 작용소 $M$을 통해 $C^\bullet(A,A)$에 $E_2$-대수적 구조의 모듈리 공간에 호모토피적으로 작용한다.
• 작용소 $M$은 평면 상의 점들의 구성공간의 Fulton-MacPherson 컴팩티피케이션을 사용하여 구성된다.
• 조각적 대수적 체인 이론은 모서리가 있는 실수 준대수다양체에서 적분과 형식성 증명에 적합한 프레임워크를 제공한다.
• Kontsevich의 변형 양자화 공식의 계수들은 $\mathbb{Q}$ 위의 대수적 다양체의 주기이며, 혼합 타이트 모티브와 연결된다.
• Hochschild 복합체에 대한 Grothendieck-Teichmüller 군의 작용은 Kontsevich(2000, [Ko3])에서 묘사된 모티브릭 갈루아 군 작용과 일치한다.