[논문 리뷰] Deformations of Asymptotically Conical $G_2$-Instantons

Joseph A. Driscoll|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 05.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무한대에서 고정된 점점 가까워지는 연결을 갖는 점점 원뿔 모양인 $G_2$-다양체 위의 $G_2$-instanton에 대한 스핀orial 변형 이론을 개발한다. 변형을 $G_2$-다양체 위의 변형된 디랙 연산자의 핵과 거의 켈러 링크 위의 디랙 연산자의 고유값과 연결함으로써, 모듈리 공간의 가상 차원을 계산하고, $\mathbb{R}^7$ 위의 주 $G_2$-다양체 위의 비차단 가능한 $G_2$-instanton에 대해 유일성 결과를 증명한다. 이 경우 $G_2$-invariant이어야 한다고 보여준다.

ABSTRACT

We develop the deformation theory of instantons on asymptotically conical $G_2$-manifolds, where an asymptotic connection at infinity is fixed. A spinorial approach is adopted to relate the space of deformations to the kernel of a twisted Dirac operator on the $G_2$-manifold and to the eigenvalues of a twisted Dirac operator on the nearly Kähler link. This framework is then used to calculate the virtual dimension of the moduli spaces of $G_2$-instantons on which several known examples live. One such example considered is the $G_2$-instanton of Günaydin-Nicolai, which lives on $R^7$. As an application of the deformation theory, we show how knowledge of the virtual dimension of the moduli space allows us to prove that unobstructed connections in the moduli space are $G_2$-invariant. By classifying such connections we prove a uniqueness result for unobstructed $G_2$-instantons on the principal $G_2$-bundle over $R^7$.

연구 동기 및 목표

• 무한대에서 고정된 점점 가까워지는 연결을 갖는 점점 원뿔 모양인 $G_2$-다양체 위의 $G_2$-instanton에 대한 변형 이론을 개발한다.
• 변형 공간을 $G_2$-다양체 위의 변형된 디랙 연산자의 핵과 거의 켈러 링크 위의 디랙 연산자의 고유값과 연결한다.
• 기존의 예들, 특히 Günaydin-Nicolai instanton을 포함하여, $G_2$-instanton의 모듈리 공간의 가상 차원을 계산한다.
• 주 $G_2$-다양체 위의 비차단 가능한 $G_2$-instanton이 반드시 $G_2$-invariant이어야 한다는 것을 증명하고, 이를 통해 유일성 결과를 도출한다.
• 변형 프레임워크를 적용하여 Bryant-Salamon 및 기타 $G_2$-다양체, 특히 $\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$와 $\Lambda^2_-(S^4)$ 위의 instanton 모듈리 공간을 분석한다.

제안 방법

• 고정된 감쇠율을 갖는 점점 원뿔 모양인 다양체 위의 변형된 디랙 연산자의 핵과 연결하여 $G_2$-instanton의 변형을 스핀orial 접근법으로 기술한다.
• 잠재적 원뿔 다각형 위의 타원형 연산자에 대한 Lockhart-McOwen 및 Marshall의 분석 프레임워크를 사용하여 프레드홀름 성질을 확립한다.
• 모듈리 공간 간의 사영 사상에 의해, 변형 공간을 거의 켈러 링크 다양체 위의 변형된 디랙 연산자의 스펙트럼과 연결한다.
• 암시함수정리 적용을 통해, 변형 이론이 비차단 가능할 경우 모듈리 공간이 매끄러운 다양체임을 보여준다.
• 특히 $S^3 \times S^3$, $\mathbb{CP}^3$, 및 $S^6$에 대해 표현 이론과 프로비던스의 재귀관계를 사용하여 거의 켈러 링크 위의 변형된 디랙 연산자의 고유값을 명시적으로 계산한다.
• 표현 공간 기저에서 선형화된 $G_2$-instanton 연산자의 형식적 수반 행렬을 명시적으로 계산하여 모듈리 공간의 가상 차원을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대에서 고정된 점점 가까워지는 연결을 갖는 점점 원뿔 모양인 $G_2$-다양체 위의 $G_2$-instanton에 대한 변형 이론은 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 일반 $G_2$-instanton의 변형 공간과 $G_2$-다양체 위의 변형된 디랙 연산자의 핵, 그리고 거의 켈러 링크의 디랙 연산자 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 예를 들어 $\mathbb{R}^7$, $\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$, $\Lambda^2_-(S^4)$와 같은 알려진 예들에서 $G_2$-instanton의 모듈리 공간의 가상 차원은 무엇인가?
• RQ4 비차단 가능한 $G_2$-instanton이 $G_2$-invariant임을 보일 수 있는 조건은 무엇이며, 그로 인해 유도되는 유일성 결과는 무엇인가?
• RQ5 거의 켈러 링크 위의 변형된 디랙 연산자의 고유값은 어떻게 $G_2$-instanton의 모듈리 공간의 구조를 결정하는가?

주요 결과

• $\mathbb{R}^7$ 위의 $G_2$-instanton의 모듈리 공간의 가상 차원은 0으로 계산되며, 이는 비차단 가능할 경우 모듈리 공간이 0차원임을 나타낸다.
• 표준적인 $G_2$-instanton에 대해 변형 공간은 자명하며, 모듈리 공간은 한 점이므로, 비차단 가능한 instanton들 사이에서의 유일성을 의미한다.
• 변형 이론에 따르면, 주 $G_2$-다양체 위의 비차단 가능한 $G_2$-instanton은 선형화된 연산자의 핵의 구조 때문에 반드시 $G_2$-invariant이어야 한다.
• 거의 켈러 링크 $G_2/SU(3)$ 위의 변형된 디랙 연산자의 고유값을 명시적으로 계산하였으며, 그 스펙트럼이 모듈리 공간의 가상 차원을 결정한다.
• Bryant-Salamon 다양체 $\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$의 경우, $G_2$-instanton의 모듈리 공간의 가상 차원은 1로 계산되었으며, 기존의 예들과 일치한다.
• 표준 연결에서 선형화된 $G_2$-instanton 연산자의 형식적 수반 행렬을 표현 기저에서 계산하였으며, 그 고유값은 기대되는 스펙트럼과 일치하여 변형 프레임워크의 타당성을 검증한다.