[논문 리뷰] Deformations of trianguline B-pairs and Zariski density of two dimensional crystalline representations

Kentaro Nakamura|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 삼각형 B-쌍의 변형 이론을 임의의 p진 수체 K로 일반화하고, Q_p에서의 이전 결과를 확장하여 임의의 p진 수체 K 위에서 두 차원의 p진 가중치를 가진 삼각형 표현의 p진 가중치를 구성한다. 이는 크리스탈린 표현의 삼각형 공간에서의 자리지 밀도를 증명하며, Colmez와 Kisin의 결과를 일반화한다. B-쌍과 연속 코homology를 사용하여 p진 호지 이론과 표현의 변형 이론을 통합함으로써, 임의의 수체수에 대한 고유다양체에 대한 p진 이론의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

The aim of this article is to study deformation theory of trianguline B-pairs for any p-adic field. For benign B-pairs, a special good class of trianguline B-pairs, we prove a main theorem concerning tangent spaces of these deformation spaces. These are generalizations of Bellaiche-Chenevier's and Chenevier's works in the Q_p case, where they used (ϕ,Γ)-modules over the Robba ring instead of using B-pairs. As an application of this theory, in the final chapter, we prove a theorem concerning Zariski density of two dimensional crystalline representations for any p-adic field, which is a generalization of Colmez and Kisin's results in the Q_p case.

연구 동기 및 목표

• Bellaïche-Chenevier와 Chenevier의 삼각형 표현의 변형 이론을 Q_p에서 임의의 p진 수체 K로 확장한다.
• Kisin의 X_fs 이론을 일반화하여 임의의 K에서 두 차원의 삼각형 표현에 대한 유한 기울기 부분공간과 p진 가중치를 구성한다.
• 임의의 p진 수체 K에 대해 두 차원의 크리스탈린 표현이 삼각형 표현의 변형 공간에서 자리지적으로 밀도를 이룬다는 것을 증명하며, Q_p에서의 Colmez와 Kisin의 결과를 일반화한다.
• B-쌍에 대한 연속 코hom로리의 이론을 수립하고, Liu의 코homology와의 동치를 증명함으로써 쌍대성과 쿠퍼 곱의 구조를 가능하게 한다.
• 특히 p가 완전히 분해되지 않는 경우를 포함하여 일반적인 수체수에서 고유다양체 위의 p진 호지 이론에 기초가 되는 도구를 마련한다.

제안 방법

• Berger가 도입한 B-쌍을 p진 갈루아 표현의 프레임워크로 사용하여, 로바 반지름 위의 (φ,Γ)-모듈 대신 사용한다.
• 아르틴 국소환 위에서 삼각형 B-쌍의 변형 이론을 개발하여, Q_p의 경우를 임의의 p진 수체로 확장한다.
• B-쌍 코homology를 사용하여 Kisin의 방법을 일반화함으로써, 임의의 p진 수체 K에 대해 유한 기울기 부분공간 X_fs^tri를 구성한다.
• E-B-쌍을 값으로 갖는 B-쌍에 대한 연속 코hom로리 복합체를 도입하고, 갈루아 작용과 호환되는 쿠퍼 곱의 구조를 갖춘다.
• B-쌍 코호몰로지에 대해 타이트의 쌍대성과 오일러-포앙카레 공식을 증명하여 완전한 쌍대성과 유한성을 확보한다.
• B-쌍의 연속 코호몰로지가 Liu의 코호몰로지와 동형임을 증명하여, p진 호지 이론의 기존 결과와의 호환성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 B-쌍을 (φ,Γ)-모듈 대신 사용하여 삼각형 표현의 변형 이론을 Q_p에서 임의의 p진 수체 K로 확장할 수 있는가?
• RQ2 임의의 p진 수체 K에서 두 차원의 삼각형 표현에 대한 p진 가중치가 존재하는가, Kisin의 구성 방식을 일반화하여?
• RQ3 임의의 p진 수체 K에서 두 차원의 크리스탈린 표현의 집합이 모든 삼각형 표현의 공간에서 자리지적으로 밀도를 이룬다 할 수 있는가?
• RQ4 B-쌍의 연속 코호몰로지는 Liu의 코호몰로지와 어떻게 관련되어 있으며, 이를 통해 쌍대성 정리가 가능할 수 있는가?
• RQ5 임의의 p진 수체 K에서 유한 기울기 부분공간 X_fs^tri를 구성할 수 있으며, 이는 삼각형 표현의 p진 가중치를 매개변수화하는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 p진 수체 K에 대해 두 차원의 삼각형 표현의 p진 가중치를 구성하며, Kisin의 Q_p에서의 결과를 일반화한다.
• 두 차원의 크리스탈린 표현의 집합이 임의의 p진 수체 K에서 삼각형 변형 공간에서 자리지적으로 밀도를 이룬다는 것을 증명하며, Q_p에서의 Colmez와 Kisin의 결과를 일반화한다.
• B-쌍의 연속 코호몰로지가 Liu의 코호몰로지와 동형임을 보여주어, B-쌍에 대한 코호몰로지 프레임워크의 타당성을 입증한다.
• B-쌍 코호몰로지에 대해 타이트의 쌍대성이 성립한다: 쿠퍼 곱 쌍대성 H^i(G_K, W) × H^{2-i}(G_K, W^∨(χ_p)) → Q_p 는 i = 0,1,2에서 완전하다.
• B-쌍에 대해 오일러-포앙카레 공식이 확립되어 유한성과 쌍대성와의 호환성을 보장한다.
• 유한 기울기 부분공간 X_fs^tri의 구성이 임의의 p진 수체 K로 일반화되어, 삼각형 표현의 p진 가중치를 매개변수화할 수 있게 된다.