[논문 리뷰] Deligne-Beilinson Cohomology of Affine Groups

Richard Hain|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 혼합 히오지 구조를 지닌 아핀 군 체계에 대해 델리ญ–베일린 코hom로지 이론을 개발하며, 기본군의 상대적 완비화의 델리ญ–베일린 코hom로지와 쿼asi-프로젝티브 다양체 위의 적합한 혼합 히오지 변형의 Ext 군 사이에 자연스러운 동형사상이 존재함을 증명한다. 주요 기여는 이전의 유니포텐트 경우에서의 결과를 일반화하고, 반복 에이젠스타인 적분의 주기들을 코hom로지적 프레임워크로 제공하는 자연스러운 동형사상이 곱 연산과 호환됨을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop the theory of Deligne-Beilinson cohomology of affine groups with a mixed Hodge structure. The motivation comes from Hodge theory and the study of motives, where such groups appear. Several of Francis Brown's period computations (arXiv:1407.5167) are interpreted as elements of the DB cohomology of the relative unipotent completion of $SL_2(Z)$ and their cup products. The results in this paper are used in arXiv:1403.6443 where they are used to prove that Pollack's quadratic relations are motivic.

연구 동기 및 목표

• 혼합 히오지 구조를 지닌 아핀 군 체계에 대해 델리뇽–베일린 코호몰로지 이론을 확장하여 이전의 유니포텐트 경우의 결과를 일반화한다.
• 브라운의 반복 에이젠스타인 적분 주기 계산을 델리뇽–베일린 코호몰로지의 관점에서 해석한다.
• 기본군의 상대적 완비화의 델리뇽–베일린 코호몰로지와 적합한 혼합 히오지 변형의 카테고리 내에서의 Ext 군 사이에 자연스러운 동형사상을 확립한다.
• 상대적 완비화의 코호몰로지에서 기저 다양체로의 자연스러운 사상이 혼합 히오지 구조의 사상임을 증명한다.
• 등변 구조를 통한 승수를 통해 매끄러운 다양체의 코호몰로지 결과가 오비폴드 몫으로까지 확장됨을 보여, 오비폴드에 대한 이론을 확장한다.

제안 방법

• 혼합 히오지 구조를 지닌 아핀 군 G에 대해 델리뇽–베일린 코호몰로지를 Hodge 표현 카테고리 내에서의 Ext 군으로 정의한다: $ H_{\mathcal{D}}^{\bullet}(G,V) := \operatorname{Ext}^{\bullet}_{{\sf HRep}(G)}(\mathbb{F},V) $.
• Ext와 전역 단면을 포함하는 자연스러운 정확수열을 사용한다: $ 0\to\operatorname{Ext}^{1}_{\mathsf{MHS}}(\mathbb{F},H^{m-1}(G,V))\to H^{m}_{\mathcal{D}}(G,V)\to\Gamma H^{m}(G,V)\to 0 $.
• 혼합 히오지 복합체 이론을 이용하여 기본군의 상대적 완비화 $ \mathcal{G}_x $의 좌표환에 혼합 히오지 구조를 구성한다.
• 쿼아-프로젝티브 다양체 $ X $ 위의 적합한 혼합 히오지 변형의 카테고리와 $ \pi_1(X,x) $의 상대적 완비화인 $ \mathcal{G}_x $의 Hodge 표현 카테고리 사이에 동치를 확립한다.
• 기본 다양체의 코호몰로지로의 비교 사상 $ H^\bullet(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet(X,\mathbb{V}) $을 델리뇽–베일린 코호몰로지의 사상으로 올린다: $ \theta: H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{V}) $.
• 간단히 연결된 덮개 $ W $가 자유로운 $ \Gamma $-작용을 가지는 분해를 통해 이 사상 $ \theta $가 차수 0과 1에서 동형이며, 차수 2에서 단사임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 히오지 구조를 지닌 아핀 군 체계에 대해 델리뇽–베일린 코호몰로지를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 기본군의 상대적 완비화의 델리뇽–베일린 코호몰로지와 기저 다양체 위의 혼합 히오지 변형의 코호몰로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 상대적 완비화의 코호몰로지에서 기저 다양체로의 자연스러운 비교 사상이 혼합 히오지 구조와 호환되는가?
• RQ4 적합한 혼합 히오지 변형의 카테고리 내에서 델리뇽–베일린 코호몰로지와 Ext 군 사이의 동형사상은 오비폴드로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 델리뇽–베일린 코호몰로지의 컵 곱 연산은 브라운의 반복 에이젠스타인 적분 주기 계산과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 혼합 히오지 구조를 지닌 아핀 군 $ G $에 대해 델리뇽–베일린 코호몰로지는 $ \mathbb{F} $가 자명한 히오지 구조 $ \mathbb{F}(0) $를 나타내는 $ \operatorname{Ext}^{\bullet}_{{\sf HRep}(G)}(\mathbb{F},V) $와 동형이다.
• 자연스러운 동형사상 $ H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V) \cong \operatorname{Ext}^\bullet_{{\mathsf{MHS}}(X,\mathbb{H})}(\mathbb{F},{\mathbb{V}}) $가 존재하며, 이는 모든 자연스러운 곱 연산과 호환되며, 상대적 완비화의 코호몰로지를 혼합 히오지 변형과 연결한다.
• 자연스러운 사상 $ H^\bullet(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet(X,\mathbb{V}) $는 혼합 히오지 구조의 사상이며, 오른쪽의 코호몰로지에는 사이다의 혼합 히오지 구조가 부여되어 있다.
• 비교 사상 $ \theta: H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{V}) $는 차수 0과 1에서 동형이며, 차수 2에서 단사이다.
• 이론은 오비폴드로까지 확장된다: $ X = Y//\Gamma $일 때, $ X $ 위의 적합한 혼합 히오지 변형의 카테고리는 $ Y $ 위의 $ \Gamma $-불변 변형의 카테고리와 동치이며, 매끄러운 $ \Gamma $-덮개 $ W $가 기본군이 자명할 때 코호몰로지 결과가 승수를 통해 올라간다.
• 오비폴드의 주요 정리의 버전이 성립한다: $ \pi_1(X,x) $의 상대적 완비화의 델리뇽–베일린 코호몰로지는 적합한 혼합 히오지 변형의 카테고리 내에서의 Ext 군과 동형이며, 이는 곱 연산과 호환된다.