[논문 리뷰] Delocalized eta invariants, algebraicity, and $K$-theory of group $C^*$-algebras

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 Higson-Roe의 고차 rho 불변량과 Lott의 비국소화된 에타 불변량 사이에 정확한 $K$-이론적 연결을 수립한다. 다항식 성장의 공轭류에 관련된 표준 행렬식 사상 $\tau_h$를 구성함으로써, 고차 rho 불변량이 $\tau_h$에 의해 평가될 경우 해당 비국소화된 에타 불변량을 얻는 것을 증명한다. 주요 결과는 바움-콘스 비판이 성립할 경우, Lott의 비국소화된 에타 불변량이 대수적 수임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we establish a precise connection between higher rho invariants and delocalized eta invariants. Given an element in a discrete group, if its conjugacy class has polynomial growth, then there is a natural trace map on the $K_0$-group of its group $C^\ast$-algebra. For each such trace map, we construct a determinant map on secondary higher invariants. We show that, under the evaluation of this determinant map, the image of a higher rho invariant is precisely the corresponding delocalized eta invariant of Lott. As a consequence, we show that if the Baum-Connes conjecture holds for a group, then Lott's delocalized eta invariants take values in algebraic numbers. We also generalize Lott's delocalized eta invariant to the case where the corresponding conjugacy class does not have polynomial growth, provided that the strong Novikov conjecture holds for the group.

연구 동기 및 목표

• 고차 rho 불변량과 비국소화된 에타 불변량을 연결하는 개념적 $K$-이론적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 다항식 성장의 공轭류 $\langle h\rangle$에 대해 $K_0(C_r^*(\Gamma))$ 위에 표준 행렬식 사상 $\tau_h$를 정의하기 위해.
• 고차 rho 불변량이 $\tau_h$에 의해 평가될 경우 해당 비국소화된 에타 불변량과 일치함을 증명하기 위해.
• 강한 노비코프 추측을 이용해 Lott의 비국소화된 에타 불변량을 다항식 성장 이외의 영역으로 일반화하기 위해.
• 비국소화된 에타 불변량이 유리수 바움-콘스 추측 하에서 대수적 수임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 다항식 성장의 공轭류 $\langle h\rangle$를 이용해 $K_0(C_r^*(\Gamma))$ 위의 추적 사상 $\mathrm{tr}_h$를 구성하기 위해.
• 2차 불변량을 평가하기 위한 $\mathrm{tr}_h$의 개선으로서 행렬식 사상 $\tau_h$를 정의하기 위해.
• 왕과 왕의 $L^2$-리프셰츠 고정점 정리와 함께, $\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$를 특성류와 연결하기 위해.
• $L^2$-리프셰츠 공식을 적용하여 $\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$를 $\hat{A}_\theta$ 및 $\hat{A}_\pi$ 특성류를 통해 표현하기 위해.
• 유리수 바움-콘스 추측을 활용하여 $\mathbb{Q}_\Gamma$ 내에서 불변량의 대수성을 도출하기 위해.
• 강한 노비코프 추측 하에서 비국소화된 에타 불변량을 다항식 성장 이외의 공轭류로 일반화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Higson-Roe의 고차 rho 불변량과 Lott의 비국소화된 에타 불변량은 $K$-이론적 수준에서 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 비국소화된 에타 불변량은 다항식 성장의 공轭류를 초월해 일반화될 수 있는가?
• RQ3 비국소화된 에타 불변량이 대수적 수가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $K$-이론적 행렬식 사상 $\tau_h$는 주요 불변량과 2차 불변량을 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비국소화된 에타 불변량의 대수성은 바움-콘스 추측의 반례 탐지에 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 행렬식 사상 $\tau_h$에 의한 고차 rho 불변량의 평가 결과는 정확히 비국소화된 에타 불변량이 된다: $\tau_h(\rho(\widetilde{D},\widetilde{g})) = -\frac{1}{2}\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D})$.
• 유리수 바움-콘스 추측이 $\Gamma$에 대해 성립할 경우, $\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D})$는 $\mathbb{Q}_\Gamma$ 내의 대수적 수이다.
• 만약 $h$의 순서가 무한대일 경우, $\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D}) = 0$이며, 이는 기존의 소멸 결과와 일치한다.
• 만약 $h$의 순서가 유한할 경우, $\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$는 $\mathbb{Q}_\Gamma$ 내의 대수적 수이다.
• $L^2$-리프셰츠 고정점 정리는 성장 조건 없이도 성립하며, $\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$의 공식은 $\hat{A}_\theta$ 및 $\hat{A}_\pi$ 특성류를 통해 표현된다.
• 논문은 비국소화된 아티유-패틀로-사이러스 지수 정리의 $K$-이론적 증명을 제공한다.