[논문 리뷰] Derivation of the time dependent Gross-Pitaevskii equation for a class of non purely positive potentials

Maximilian Jeblick, Peter Pickl|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 15.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비순수하게 양성인 상호작용 포텐셜을 가진 보스-아인슈타인 응축체에 대해 시간에 의존하는 그로스-피타에프스키 방정식의 엄밀한 미시적 유도를 제공하며, 이는 이전 결과를 약하게 인한 상호작용을 포함하도록 확장한다. $N$-체 해밀토니안과 다체 슈뢰딩거 방정식을 사용하고 초기 응축을 가정함으로써, 저자들은 한 입자 감소 밀도 행렬이 추적 노름에서 그로스-피타에프스키 방정식의 해로의 프로젝터로 수렴함을 증명한다. 수렴 속도는 $O(N^{-\nu})$이며, $ u > 0$ 이다. 이는 저자들이 준 얀의 결과를 통해 해밀토니안의 안정성을 확보하는 조건 하에 성립한다.

ABSTRACT

We present a microscopic derivation of the time-dependent Gross-Pitaevskii equation starting from an interacting N-particle system of Bosons. We prove convergence of the reduced density matrix corresponding to the exact time evolution to the projector onto the solution of the respective Gross-Pitaevskii equation. Our work extends a previous result by one of us (P.P.[44]) to interaction potentials which need not to be nonnegative, but may have a sufficiently small negative part. One key estimate in our proof is an operator inequality which was first proven by Jun Yin, see [49].

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 그로스-피타에프스키 방정식의 엄밀한 유도를 비순수하게 비음성인 상호작용 포텐셜으로 확장하여, 약간의 인한 성분을 포함하도록 한다.
• 이러한 포텐셜에 대해 그로스-피타에프스키 영역에서 보스-아인슈타인 응축의 지속성을 확립한다.
• 다체 해밀토니안의 한 입자 감소 밀도 행렬이 $N \to \infty$일 때 그로스-피타에프스키 방정식의 해로의 프로젝터로 추적 노름에서 수렴함을 증명한다.
• 고려된 포텐셜의 클래스에 따라 다체 해밀토니안의 안정성을 확보하며, 제2종 안정성에 관한 준 얀의 결과에 기반한다.

제안 방법

• 스케일링된 상호작용 포텐셜 $V_N(x) = N^2 V(Nx)$ 과 시간에 의존하는 외부 포텐셜 $A_t$ 를 가진 $N$-체 슈뢰딩거 방정식을 수립한다.
• 초기 완전한 응축을 가정한다. 즉, 초기 한 입자 감소 밀도 행렬이 추적 노름에서 $|\varphi_0\rangle\langle\varphi_0|$로 수렴한다.
• 그로스-피타에프스키 방정식의 해 $\varphi_t$ 를 바탕으로 한 시도 상태를 사용하여 에너지 차이를 추정하고 다체 파동함수의 변동성을 제어한다.
• 준 얀 [49]의 연산자 부등식을 적용하여 포텐셜의 음성 부분을 제어하고 에너지 차이 추정의 비음성 확보를 위해 사용한다.
• 위치 공간 내 분석을 국소화하기 위해 프로젝터 $p_1$, $q_1$ 과 특성 함수 $\mathds{1}_{\mathcal{A}_1}$, $\mathds{1}_{\overline{\mathcal{B}}_1}$ 를 사용한 파동함수의 응축 및 수직 성분으로의 분해를 시행한다.
• \varphi_t$ 및 $\Psi_0$ 에 대한 정규성 가정을 활용하여 $\|\nabla_1 p_1 \Psi\|$ 와 $\|\Delta_1 p_1 \Psi\|$ 에 대한 유계를 통해 오차 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비순수하게 음성이 아닌 상호작용 포텐셜에 대해 시간에 의존하는 그로스-피타에프스키 방정식을 엄밀히 유도할 수 있는가? 특히 음성 성분이 포함된 경우에 대해.
• RQ2 다체 해밀토니안이 다이나믹스적 붕괴를 방지하기 위해 안정성을 유지하기 위해 상호작용 포텐셜에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 다체 해밀토니안의 한 입자 감소 밀도 행렬이 $N \to \infty$일 때 그로스-피타에프스키 방정식의 해로의 프로젝터로 추적 노름에서 수렴하는가?
• RQ4 포텐셜의 음성 부분 존재가 감소 밀도 행렬의 응축 상태로의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 한 입자 감소 밀도 행렬 $\gamma^{(1)}_{\Psi_t}$ 는 $N \to \infty$일 때 $|\varphi_t\rangle\langle\varphi_t|$ 로 추적 노름에서 수렴함을 증명하여 응축의 지속성을 입증한다.
• 수렴 속도는 $O(N^{-\nu})$ 이며, $ u > 0$ 이다. 이는 $\langle\langle \Psi, \widehat{n}^\varphi \Psi \rangle\rangle$ 와 $|\mathcal{E}(\Psi) - \mathcal{E}^{GP}(\varphi)|$ 를 포함하는 오차 유계를 통해 명시적으로 정량화된다.
• 반발력 핵과 충분히 작은 음성 부분을 가진 포텐셜에 대해 유도가 성립하며, 준 얀의 결과 [49]를 통해 해밀토니안의 안정성이 보장된다.
• 핵심적인 기술적 혁신은 이전 연구에서 사용된 비음성 가정을 대체하기 위해 음성 부분을 제어하는 보완된 연산자 부등식을 사용한 것이다.
• 증명은 다체 상태와 그로스-피타에프스키 상태 사이의 에너지 차이가 변동 수 $\langle\langle \Psi, \widehat{n}^\varphi \Psi \rangle\rangle$ 와 $O(N^{-\nu})$ 속도로 감소하는 오차 항에 의해 제어됨을 보여준다.
• 결과는 상호작용 포텐셜에 약한 인한 성분이 포함되어 있어도 시스템이 안정성을 유지한다면 그로스-피타에프스키 방정식이 여전히 유효한 효과적 기술임을 확인한다.