[논문 리뷰] Derived categories of Quot schemes of locally free quotients

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 65인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $ F $ 를 매끄럽고 아핀 $ S $-스킴 $ H_S $ 로 표현함을 보이며, 이는 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee $ 위의 대칭代수의 상대 스펙트럼으로 구성된다. 또한 $ H_S $ 상의 타원적 사상 $ \tau $ 가 $ \mathscr{W} $ 에서 $ \mathscr{V} $ 로의 사상들을 유니버설하게 코표현함을 증명한다. 주요 기여는 이 매끄러운 매개변수 공간을 통한 유도된 Quot 스킴의 기하적 실현이다.

ABSTRACT

This paper studies the derived category of the Quot scheme of rank $d$ locally free quotients of a sheaf $\mathscr{G}$ of homological dimension $\le 1$ over a scheme $X$. In particular, we propose a conjecture about the structure of its derived category and verify the conjecture in various cases. This framework allows us to relax certain regularity conditions on various known formulae -- such as the ones for blowups (along Koszul-regular centers), Cayley's trick, standard flips, projectivizations, and Grassmannain-flips -- and supplement these formulae with the results on mutations and relative Serre functors. This framework also leads us to many new phenomena such as virtual flips, and structural results for the derived categories of (i) $\mathrm{Quot}_2$ schemes, (ii) flips from partial desingularizations of $\mathrm{rank}\le 2$ degeneracy loci, and (iii) blowups along determinantal subschemes of codimension $\le 4$.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 자유인 몫에 대한 Quot 스킴을 표현 가능한 함수를 통해 기하학적으로 구성하는 것.
• $ \mathscr{W} $ 에서 $ \mathscr{V} $ 로의 사상들을 매개변수화하는 $ H_S $ 스킴의 매끄럽고 표현 가능한 성질을 확립하는 것.
• $ H_S $ 상의 타원적 사상 $ \tau $ 가 임의의 $ T \to S $ 에 대해 $ \mathscr{W}_T $ 에서 $ \mathscr{V}_T $ 로의 사상들을 유니버설하게 코표현함을 보여주는 것.
• 이 매끄러운 매개변수 공간을 통해 유도된 카테고리적 분석을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 함수 $ F $ 를 $ H_S := \underline{\operatorname{Spec}}_S(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee)) $ 로 표현하며, 이는 $ S $ 에 대해 매끄럽다.
• 기본 호모모르피즘 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee \to \operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee) $ 를 사용하여 타원적 사상 $ \tau: \mathscr{W}_{H_S} \to \mathscr{V}_{H_S} $ 를 구성한다.
• 상대 스펙트럼의 유니버설 성질을 활용하여, 임의의 사상 $ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathscr{O}_T}(\mathscr{W}_T, \mathscr{V}_T) $ 에 대해 고유한 $ S $-사상 $ g_\sigma: T \to H_S $ 를 유도한다.
• $ g_\sigma^*\tau = \sigma $ 를 확인함으로써 $ \tau $ 가 유니버설 코표현임을 확인한다.
• $ H_S $ 의 매끄러움을 활용하여, 유도된 분석을 위한 양호한 기하학적 및 카테고리적 성질을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 자유인 몫을 $ \mathscr{V} $ 에서 $ \mathscr{W} $ 로 매개변수화하는 함수를 어떻게 기하학적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 $ \mathscr{W} $ 에서 $ \mathscr{V} $ 로의 사상들을 코표현하는 스킴 $ H_S $ 의 구조는 어떠한가?
• RQ3 $ H_S $ 상의 타원적 사상 $ \tau $ 는 임의의 사상 $ \sigma: \mathscr{W}_T \to \mathscr{V}_T $ 와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $ H_S $ 의 기하학적 성질, 특히 그 매끄러움은 어떠한가?

주요 결과

• 함수 $ F $ 는 매끄럽고 아핀 $ S $-스킴 $ H_S = \underline{\operatorname{Spec}}_S(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee)) $ 로 표현 가능하다.
• 타원적 사상 $ \tau: \mathscr{W}_{H_S} \to \mathscr{V}_{H_S} $ 는 기본 사상 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee \to \operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee) $ 에 의해 유도된다.
• 임의의 $ T \to S $ 와 사상 $ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathscr{O}_T}(\mathscr{W}_T, \mathscr{V}_T) $ 에 대해, $ g_\sigma^*\tau = \sigma $ 를 만족하는 고유한 $ S $-사상 $ g_\sigma: T \to H_S $ 가 존재한다.
• 스킴 $ H_S $ 는 $ S $ 에 대해 매끄럽다. 이는 유도된 카테고리적 구성에 유리한 기하학적 행동을 보장한다.