[논문 리뷰] Derived division functors and mapping spaces

Benoît Fresse|ArXiv.org|2002. 08. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Barratt-Eccles 작용소에 대한 $E_∞$-대수에 대해 유도된 나눗셈 함자를 구성하며, 정규화된 코체인 복합체 $N^*(Y)$ 와 정규화된 체인 복합체 $N_*(X)$ 간의 유도된 나눗셈과 맵핑 스페이스 $\operatorname{Map}(X,Y)$ 의 정규화된 코체인 복합체 사이의 준동형을 제공한다. 이 구성은 Lannes의 $T$-함수를 $E_\infty$-대수로 일반화하며, $E_\infty$-구조를 통한 맵핑 스페이스의 함의론적 모델을 수립한다.

ABSTRACT

The normalized cochain complex of a simplicial set N^*(Y) is endowed with the structure of an E_{infinity} algebra. More specifically, we prove in a previous article that N^*(Y) is an algebra over the Barratt-Eccles operad. According to M. Mandell, under reasonable completeness assumptions, this algebra structure determines the homotopy type of Y. In this article, we construct a model of the mapping space Map(X,Y). For that purpose, we extend the formalism of Lannes' T functor in the framework of E_{infinity} algebras. Precisely, in the category of algebras over the Barratt-Eccles operad, we have a division functor -oslash N_(X) which is left adjoint to the functor Hom_F(N_*(X),-). We prove that the associated left derived functor -oslash^L N_*(X) is endowed with a quasi-isomorphism N^*(Y) oslash^L N_*(X) --> N^* Map(X,Y).

연구 동기 및 목표

• Barratt-Eccles 작용소에 대한 $E_\infty$-대수의 맥락으로 Lannes의 $T$-함수 형식을 확장하기 위해.
• 맵핑 스페이스 $\operatorname{Map}(X,Y)$ 의 코체인 복합체를 모델링하는 유도된 나눗셈 함수 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ 를 구성하기 위해.
• 단순 복합체 $X$ 와 $Y$ 에 대해 함의론적 준동형 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \xrightarrow{\sim} N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 를 확립하기 위해.
• 기존의 Eilenberg-Zilber 사상이 $E_\infty$-구조와 호환되지 않는 문제를 해결하기 위해, $E_\infty$-대수의 구조와 호환되는 호모토피 Eilenberg-Zilber 동치를 구성하기 위해.

제안 방법

• Barratt-Eccles 작용소에 대한 대수의 범주에서의 코herent 해체를 사용하여, $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ 의 왼쪽 유도 함수를 정의한다.
• 왼쪽 수반 함수 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{F}}(N_*(X), -)$ 와 함께 $E_\infty$-대수의 범주에서 나눗셈 함수 $- \oslash N_*(X)$ 를 적용한다.
• 단체에 대한 함의론적 성질을 통해 자연스러운 사상 $F_{X\times Y} \to N^*(X) \widehat{\otimes} N^*(Y)$ 를 구성함으로써, 호모토피 Eilenberg-Zilber 동치를 이끌어낸다.
• Postnikov 타워에 대한 귀납법을 사용하여, $Y = K(\mathbb{Z}/2,n)$ 일 때 사상 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \to N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 가 준동형임을 증명한다.
• 면과 분해 사상에 대한 다이어그램의 교환성을 검증하여, $X$ 와 $Y$ 양쪽에 대해 함의론적 성질을 확보한다.
• dg-모듈의 대칭 모나이드 구조와 $\operatorname{Hom}$-복합체에서의 차수 공통 법칙을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 맵핑 스페이스 $\operatorname{Map}(X,Y)$ 는 $E_\infty$-대수의 범주에서 유도된 함수를 통해 대수적으로 모델링될 수 있는가?
• RQ2 기존의 Eilenberg-Zilber 사상은 어떻게 수정되어야 $N^*(X) \otimes N^*(Y)$ 에 있는 $E_\infty$-대수의 구조와 호환되게 할 수 있는가?
• RQ3 유도된 나눗셈 함수 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ 가 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \xrightarrow{\sim} N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 를 준동형으로서 제공할 수 있는가?
• RQ4 유도된 나눗셈 함수의 구성은 $X$ 와 $Y$ 양쪽에 대해 함의론적 성질을 유지하는가?
• RQ5 Postnikov 타워에 대한 귀납법을 통해, Eilenberg-MacLane 공간에서 일반적인 단순 복합체로 모델을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 유도된 나눗셈 함수 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ 는 $N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 와 준동형이므로, 맵핑 스페이스의 순수 대수적 모델을 제공한다.
• 이 구성은 $X$ 와 $Y$ 의 사상에 대해 호환되는 함의론적 사상 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \to N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 를 제공한다.
• 특히 $Y = K(\mathbb{Z}/2,n)$ 일 때, 준동형은 직접적으로 확립되며 Postnikov 타워에 대한 귀납적 증명의 기초가 된다.
• Eilenberg-Zilber 사상 $N^*(X \times Y) \to N^*(X) \otimes N^*(Y)$ 는 $E_\infty$-호환성이 없지만, 호모토피 형태로 재구성되어 호환성이 복원된다.
• 왼쪽 유도 함수 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ 는 잘 정의되어 있으며, $X = S^1$ 일 때 순환 공간을 모델링한다. 이 경우 $\Omega Y$ 는 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L \tilde{N}_*(S^1)$ 로 복구된다.
• 전체 구성은 함의론적 성질을 유지하며, dg-모듈의 대칭 모나이드 구조를 존중하여 단체적 및 체인 수준의 자료 간의 일관성을 확보한다.