[논문 리뷰] Derived equivalence and Grothendieck ring of varieties: the case of K3 surfaces of degree 12 and abelian varieties

Atsushi Ito, Makoto Miura외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 43인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 유도 동치인 대상들이 레프셰츠 클래스 L = [A¹]의 거듭제곱에 대해 모odulo된 다양체의 그로텐디에크 링에서 같은 클래스를 가지는지 조사한다. 차수 12인 매우 일반적인 K3 표면에 대해, [X] − [Y]의 차이가 어떤 L의 거듭제곱에 의해 소멸됨을 증명하여, 이 경우 추측을 확인한다. 그러나 차수 >1인 아벨 다양체에 대해서는, [X] − [Y]가 어떤 L의 거듭제곱에 의해도 소멸되지 않는 반례를 구성함으로써 일반 문제에 대해 부정적인 답변을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss the problem of whether the difference $[X]-[Y]$ of the classes of a Fourier--Mukai pair $(X, Y)$ of smooth projective varieties in the Grothendieck ring of varieties is annihilated by some power of the class $\mathbb{L} = [ \mathbb{A}^1 ]$ of the affine line. We give an affirmative answer for Fourier--Mukai pairs of very general K3 surfaces of degree 12. On the other hand, we prove that in each dimension greater than one, there exists an abelian variety such that the difference with its dual is not annihilated by any power of $\mathbb{L}$, thereby giving a negative answer to the problem. We also discuss variations of the problem.

연구 동기 및 목표

• 유도 동치인 (푸리에–멀라이) 다양체 X와 Y의 차이 [X] − [Y]가 다양체의 그로텐디에크 링에서 레프셰츠 클래스 L의 거듭제곱에 의해 소멸되는지 여부를 결정하는 것.
• 대수적으로 닫힌 체 위에서 차수 12인 K3 표면과 아벨 다양체의 맥락에서 문제 1.2의 타당성을 조사하는 것.
• 유도 동치 하에서 차우 모티브와 수치 모티브의 행동을 포함한 문제의 변형을 탐색하는 것.
• 유도 동치인 다양체가 특히 아벨 다양체와 K3 표면의 맥락에서 동일한 차우 모티브 또는 수치 모티브를 가지는지 조사하는 것.

제안 방법

• 차수 12인 K3 표면의 유도 카테고리 동치를 옥타드럴 그라스만이인 OG(5,10)에 대한 실현을 통해 분석하고, 쌍대성과 유도 동치 기법을 활용한다.
• 모티브적 통합 이론과 호크시لد–코스타ント–로젠버그 동형을 적용하여 유도 불변량을 히지 수와 그로텐디에크 링 클래스에 연결한다.
• 기하학적 모티브와 차우 모티브 사이의 관계를 설정하기 위해 기하학적 모티브 측도 µGS: K₀(Var/k)[L⁻¹] → K₀(CMₖ)를 사용한다.
• 등급이 높은 아벨 다양체에서 구체적인 반례를 구성하기 위해, [A] − [bA]가 어떤 L의 거듭제곱에 의해도 소멸되지 않는다는 것을 보이며, 차우 모티브의 이소지니 변환 불변성에 기반한다.
• 다양체의 대칭적 곱의 모티브를 비교하기 위해 그로텐디에크 링에서의 생성함수와 거듭제곱 구조를 활용한다.
• 오르놀드의 정리(유도 동치인 아벨 다양체는 이소지니임을 의미함)를 대칭적 곱에 대해 생성함수와 타이트 테이트 변환을 통해 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸리에–멀라이 쌍 (X,Y)의 차이 [X] − [Y]가 어떤 L의 거듭제곱으로 곱해진 후 국소화된 그로텐디에크 링 K₀(Var/k)[L⁻¹]에서 0이 되는가?
• RQ2 차수 12인 유도 동치 K3 표면에 대해 [X] − [Y]가 어떤 L의 거듭제곱에 의해 소멸되는가?
• RQ3 차수 >1인 유도 동치 아벨 다양체에 대해 K₀(Var/k)[L⁻¹]에서 [X] − [Y] = 0을 만족하는가?
• RQ4 유도 동치인 다양체는 그로텐디에크 링의 모티브에서 동일한 차우 모티브 또는 수치 모티브를 가지는가?
• RQ5 모티브 측도 µGS는 유도 동치인 다양체를 K₀(CMₖ)에서 동형 모티브로 보낸다.

주요 결과

• 매우 일반적인 차수 12인 K3 표면에 대해, [X] − [Y]의 차이는 어떤 L의 거듭제곱에 의해 소멸되며, 이는 이 경우 문제 1.2에 대한 긍정적 답변을 제공한다.
• 1보다 큰 각 차수에 대해, [A] − [bA]가 어떤 L의 거듭제곱에 의해도 소멸되지 않는 아벨 다양체 A가 존재한다. 이는 문제 1.2에 대한 부정적 답변을 제공한다.
• 반례는 이소지니 아벨 다양체는 동일한 차우 모티브를 가지지만, K₀(Var/k)[L⁻¹]에서의 클래스는 비자명하게 다름을 바탕으로 한다.
• 모든 D-동치인 복소 아벨 표면 A와 B에 대해, 모든 양의 정수 n에 대해 [h(A[n])]과 [h(B[n])]은 K₀(CMₖ)에서 동일하다는 것을 증명한다.
• 모티브 측도 µGS는 다양체의 클래스를 그 차우 모티브로 보낸다. 이 사상은 거듭제곱 구조를 유지하므로 생성함수 간 비교가 가능하다.
• D-동치인 아벨 표면과 그 대칭적 곱에 대해, 생성함수와 타이트 테이트 변환을 통해 K₀(CMₖ)에서 [h(X)] = [h(Y)]임을 보였다.