[논문 리뷰] Derived intersections over the Hochschild cochain complex

Márton Hablicsek|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 복소 스킴 $X$ 의 1-시프트 코탄제ント 번들의 $T^*[1]X$ 에서 라그랑주 부분다양체의 유도 교차에 대한 BV 대수 구조를 일반화한다. 특히, 양자화된 라그랑주 부분다양체—구체적으로는 1-형식 $\alpha \in H^1(X, \Omega^1_X)$ 의 그래프와 영단면—의 유도 교차가 외부 코탄제ント 번들의 자연스러운 양자화를 제공함을 보이며, 메타원리인 '라그랑주 부분다양체의 유도 교차의 양자화는 양자화된 라그랑주 부분다양체의 유도 교차와 일치한다' 를 확인한다.

ABSTRACT

The paper generalizes a result of Behrend-Fantechi and Baranovsky-Ginzburg to the 1-shifted cotangent bundle $T^*X[1]$ of a smooth scheme $X$ over the field of complex numbers. We show how one can obtain twisted cotangent bundles as derived intersections of Lagrangians in $T^*X[1]$, moreover and we show that the derived intersection of the quantized Lagrangians coincide with the canonical quantization of the twisted cotangent bundles.

연구 동기 및 목표

• 표준 코탄제곱 번들의 경우에서 라그랑주 부분다양체의 유도 교차에 대한 BV 대수 구조를 표준 코탄제곱 번들의 경우에서 1-시프트 코탄제곱 번들 $T^*[1]X$ 로 확장하는 것.
• 유도 교차의 양자화된 라그랑주 부분다양체가 $T^*[1]X$ 에서 외부 코탄제곱 번들의 자연스러운 양자화를 복원함을 보이는 것.
• 이동 대칭 기하학에서 유도 교차와 양자화 간의 이중성에 대한 범주론적 및 호모로지적 프레임워크를 제공하는 것.
• 메타원리인 '라그랑주 부분다양체의 유도 교차의 양자화는 양자화된 라그랑주 부분다양체의 유도 교차와 같다' 를 검증하는 것.

제안 방법

• 비용스토-리의 이동 대칭 기하학의 양자화 프레임워크를 활용하여, 특히 $-1$-시프트 및 $0$-시프트의 경우에 초점을 맞춘다.
• 닫힌 1-형식 $\alpha \in H^1(X, \Omega^1_X)$ 에 대해 $d\alpha = 0$ 이라 가정할 때, 영단면 $Y = X \to T^*[1]X$ 과 그래프 $Z$ 에 대한 라그랑주 구조를 구성한다.
• 유도 대수기하학을 적용하여 유도 교차 $W = Y \underset{T^*[1]X}{\overset{L}{\times}} Z$ 를 계산하고, 이가 $X$ 위의 외부 코탄제곱 번들과 호모토피적으로 동치임을 보인다.
• 필터링된 대수 기법을 사용하여, $\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ 와 $X$ 상의 미분연산자 대수 $D$ 사이의 호모토피적 동치를 확립한다.
• 에탈로컬 트ivial라이제이션과 와일 대수 관계를 활용하여, 유도 텐서곱에 $D$-대수의 구조를 올려, 이 사상이 dg-대수의 호모토피 동치임을 증명한다.
• canonical 번들의 자명화 $\omega_X \cong {\mathscr{O}}_X$ 를 이용하여 유도 교차를 외부 de Rham 복합체와 연결함으로써 BV-미분과 연관지어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 코탄제곱 번들에서의 유도 교차에 대한 BV 대수 구조는 어떻게 1-시프트 코탄제곱 번들 $T^*[1]X$ 로 일반화되는가?
• RQ2 유도 교차의 양자화된 라그랑주 부분다양체가 $T^*[1]X$ 에서 외부 코탄제곱 번들의 자연스러운 양자화로 식별될 수 있는가?
• RQ3 영단면과 $T^*[1]X$ 상의 닫힌 1-형식의 그래프는 어떤 조건에서 라그랑주 구조를 가질 수 있는가?
• RQ4 이러한 양자화된 라그랑주 부분다양체의 유도 교차는 교차의 기저층의 $\hbar$-데포메이션을 복원하는가?
• RQ5 유도 교차의 양자화와 양자화된 라그랑주 부분다양체의 유도 교차를 동일시하는 일반 원리가 존재하는가?

주요 결과

• 영단면과 닫힌 1-형식 $\alpha$ 의 그래프의 유도 교차 $W$ 는 $\alpha$ 에 의해 결정되는 외부 코탄제곱 번들과 호모토피적으로 동치이다.
• 유도 교차 $W$ 는 $0$-시프트 심플렉틱 구조를 지니며, 그 양자화는 자연스럽게 바탈린-빌코비치 대수를 이룬다.
• $\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ 는 필터링된 결합 대수로서 $X$ 상의 미분연산자 대수 $D$ 와 호모토피적으로 동치이다.
• 유도 교차의 BV-미분은 $0 \to {\mathscr{O}}_X \xrightarrow{d + \wedge d\alpha} \Omega^1_X \to \cdots$ 의 외부 de Rham 복합체에서 유래하며, BV 구조를 확인한다.
• 이 구조는 메타원리를 확인한다: 라그랑주 부분다양체의 유도 교차의 양자화는 양자화된 라그랑주 부분다양체의 유도 교차와 일치한다.
• 호모토피 카테고리 수준에서 동치성을 확립하는 dg-대수의 사상이자 필터링된 호모토피 동치인 $\chi: D \to \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ 가 성립한다.