[논문 리뷰] Derived smooth stacks and prequantum categories

James Wallbridge|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유도된 미분 아르틴 스택에 대해 Weil-Kostant 정수성 정리의 일반화를 시도하며, n-시프트된 p-전비플렉틱 구조를 도입하여 정수형이 (p+n−1)-gerbe와 p-접속을 분류함을 증명한다. 또한 선형 (∞,p+n−1)-카테고리로의 자연스러운 함자를 구성함으로써, 고차 기하학과 특이 공간으로의 전량화를 일반화한다.

ABSTRACT

The Weil-Kostant integrality theorem states that given a smooth manifold endowed with an integral complex closed 2-form, then there exists a line bundle with connection on this manifold with curvature the given 2-form. It also characterises the moduli space of line bundles with connection that arise in this way. This theorem was extended to the case of p-forms by Gajer in [Ga]. In this paper we provide a generalization of this theorem where we replace the original manifold by a derived smooth Artin stack. Our derived Artin stacks are geometric stacks on the étale (\infty,1)-site of affine derived smooth manifolds. We introduce the notion of a n-shifted p-preplectic derived smooth Artin stack in analogy with the algebraic case constructed by Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi in [PTVV]. This is a derived smooth Artin stack endowed with a complex closed (p+1)-form which has been cohomologically shifted by degree n. It is a far reaching generalization of a p-preplectic manifold which includes orbifolds and other highly singular objects. We then show that when its n-shifted p-preplectic form is integral, then there exists a (p+n-1)-gerbe with p-connection data and curvature corresponding to the original p-preplectic form. We also provide the characterization of the moduli stack of gerbes with connections arising in this context. We construct a canonical functor from the (\infty,1)-category of integral n-shifted p-preplectic derived smooth Artin stacks to the (\infty,1)-category of linear (\infty,p+n-1)-categories. When n=0 and p=1, this functor can be thought of like a cohomology functor in that it associates to a derived presymplectic smooth Artin stack a linear invariant in the form of a differential graded module. In the general case we obtain higher prequantum categories which requires the machinery of linear (\infty,n)-categories.

연구 동기 및 목표

• 기존 정리가 다루지 못하는 특이점과 몫 공간을 포함한 유도된 미분 아르틴 스택으로 Weil-Kostant 정수성 정리를 일반화한다.
• 다양체 위에서의 고전적 전량화의 한계를 극복하기 위해 유도 및 고차 카테고리적 구조를 통합한다.
• 특히 비전이적 교차와 비자유 군 작용이 있는 경우에 고차 기하학적 맥락에서 전량화를 위한 프레임워크를 제공한다.
• 정수형 n-시프트된 p-전비플렉틱 형식에서 유도된 접속을 가진 gerbe의 모듈리 스택을 특성화한다.
• 정수형 n-시프트된 p-전비플렉틱 유도된 미분 아르틴 스택의 ∞-카테고리에서 선형 (∞,p+n−1)-카테고리의 ∞-카테고리로의 함수를 구성한다. 이는 전량화 함수의 일반화이다.

제안 방법

• 기하학적 유도된 미분 다양체의 에탈 ∞-사이트 위의 층으로서 유도된 미분 아르틴 스택을 정의함으로써, 다양체와 오르비포드를 일반화한다.
• 코homological shift n을 가진 닫힌 (p+1)-형식을 통해 n-시프트된 p-전비플렉틱 유도된 미분 아르틴 스택의 개념을 도입한다.
• 유도 기하학에서 코탄제ント 복합체 이론을 활용하여 유도 다변수의 사상에 대한 상대 코탄제ント 복합체를 정의하고 특성화한다.
• 코탄제ント 복합체의 0번째 호모토피 군과 비유도 경우에서 고전적인 칼라르 미분형의 층 사이에 자연스러운 동치를 확립한다.
• 정수형 n-시프트된 p-전비플렉틱 유도된 미분 아르틴 스택의 ∞-카테고리에서 선형 (∞,p+n−1)-카테고리의 ∞-카테고리로의 함수를 구성한다.
• ∞-카테고리의 모듈러스 및 t-구조와 같은 고차 카테고리 이론을 활용하여 전량화 함수를 정의하고 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이점과 몫 공간을 포함한 유도된 미분 아르틴 스택으로 Weil-Kostant 정수성 정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 고차 기하학에서 전량화 선다발의 올바른 일반화는 무엇이며, 이를 고차 gerbe와 접속을 통해 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 유도 기하학에서 시프트된 전비플렉틱 형식의 개념은 고전적 심플렉틱 및 전량화 가능한 기하학적 구조를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 정수형 n-시프트된 p-전비플렉틱 형식에서 유도된 접속을 가진 gerbe의 모듈리 스택의 구조는 어떠한가?
• RQ5 전량화 함수는 어떻게 고차 카테고리로 일반화되며, n=0, p=1인 경우의 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 정수형 n-시프트된 p-전비플렉틱 유도된 미분 아르틴 스택은 원래의 (p+1)-형식을 곡률로 가지는 (p+n−1)-gerbe와 p-접속을 갖는다.
• 이러한 접속을 가진 gerbe의 모듈리 스택은 기저 스택 위의 (∞,p+n−1)-카테고리의 층으로 특성화된다.
• 이 구성은 정수형 n-시프트된 p-전비플렉틱 유도된 미분 아르틴 스택의 ∞-카테고리에서 선형 (∞,p+n−1)-카테고리의 ∞-카테고리로의 자연스러운 함수를 유도한다.
• n=0 및 p=1일 때, 함수는 기하학적 코hom로의 유사한 불변량을 회복하며, 유도된 전심플렉틱 아르틴 스택에 대해 미분 기하학적 모듈러스를 할당한다.
• 유도된 미분 다양체의 코탄제ント 복합체는 제로 차수에서 고전적인 미분 1형식의 층을 회복하여, 유도 정의의 타당성을 검증한다.
• 이 이론은 Gajer의 Weil-Kostant 정리의 p-형식으로의 일반화를 유도 및 고차 카테고리적 구조를 통합함으로써 확장한다.