[논문 리뷰] Descent and C^0-rigidity of spectral invariants on monotone symplectic manifolds

Sobhan Seyfaddini|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단조성 힐베르트 다양체 위에서 스펙트럼 불변량의 $C^0$-강성 추정을 수립하며, 두 컴acts지지 힐베르트 변환의 스펙트럼 불변량 간의 차이가 그들의 시간-1 사상 간의 $C^0$-거리에 선형적으로 의존하고, 단조성 상수 $\lambda$를 포함하는 위상적 보정 항이 있음을 보여준다. 핵심 결과는 $\lambda > 0$일 때 스펙트럼 불변량이 컴acts지지 힐베르트 군의 기본군으로 내림내림되며, 호퍼 기하학과 호퍼 거리의 $C^0$-연속성에 응용된다.

ABSTRACT

We obtain estimates showing that on monotone symplectic manifolds (asymptotic) spectral invariants of Hamiltonians which vanish on a non-empty open set, U, descend to Ham_c(M\setminus U) from its universal cover. Furthermore, we show these invariants and are continuous with respect to the C^0-topology on Ham_c(M\setminus U). We apply these results to Hofer geometry and establish unboundedness of the Hofer diameter of $Ham_c(M\setminus U)$ for stably displaceable $U$. We also answer a question of F. Le Roux about $C^0$-continuity properties of the Hofer metric.

연구 동기 및 목표

• 시간-1 힐베르트 미분형 간의 $C^0$-거리에만 의존하는 스펙트럼 불변량에 대한 $C^0$-강성 추정을 수립하는 것, 전체 경로에 대한 의존성 없이.
• 단조성 힐베르트 다양체에서 $\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$에서 $Ham_c(M\setminus U)$로 스펙트럼 불변량이 내림내림되는지 여부를 해결하는 것.
• 결과를 호퍼 기하학에 적용하여, 안정적으로 이동 가능한 열린 집합 $U$에 대해 $Ham_c(M\setminus U)$의 호퍼 지름이 유계가 아니라는 것을 증명하는 것.
• F. Le Roux가 제기한 호퍼 거리의 $C^0$-연속성 성질에 대한 질문에 답하기 위해, 임의의 $A>0$에 대해 집합 $\mathcal{E}_A(M\setminus U)$가 비어 있지 않은 $C^0$-내부를 가짐을 보이는 것.

제안 방법

• 닫힌 단조성 힐베르트 다양체에서 슈바르츠와 오가 정의한 힐베르트 플로어 homology를 통한 스펙트럼 불변량을 사용하며, $[\omega]|_{\pi_2} = \lambda c_1|_{\pi_2}$ 조건을 만족한다.
• 시간-1 사상 간의 $C^0$-거리 제어를 위해, 비어 있지 않은 열린 집합 $U$ 밖에서 정의된 힐베르트 변환을 편미분하기 위해 $\delta$-정규화 절차를 적용한다.
• 시간-1 사상 간의 $C^0$-거리와 스펙트럼 불변량을 연결하기 위해, 심플렉틱 다양체 $M \setminus U$에서 $\epsilon$-이동 방법을 사용한다.
• 핵심 부등식 수립: $|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n \max(0, \lambda)$, 여기서 $C$는 $U$에 의존한다.
• 경계가 있는 컴팩트 심플렉틱 다양체에 대해, 실린더 끝 구조를 통한 임베딩을 통해 열린 심플렉틱 다양체로 확장한다.
• 확장된 다양체 $\hat{X} = X \cup_{\partial X} \partial X \times [0,\infty)$에서의 적합한 힐베르트 변환 이론을 적용하여 일관된 스펙트럼 불변량을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단조성 힐베르트 다양체에서 시간-1 힐베르트 미분형 간의 $C^0$-거리가 전체 경로에 관계없이 그들의 스펙트럼 불변량 간의 차이를 제어하는가?
• RQ2 $\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$에서 $Ham_c(M\setminus U)$로 스펙트럼 불변량이 내림내림되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $U$가 안정적으로 이동 가능한 경우 $Ham_c(M\setminus U)$의 호퍼 지름은 유계가 아닌가?
• RQ4 F. Le Roux의 질문에 답하여, 임의의 $A>0$에 대해 집합 $\mathcal{E}_A(M\setminus U)$가 비어 있지 않은 $C^0$-내부를 가지는가?

주요 결과

• 논문은 $C^0$-강성 추정을 수립한다: $|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n \max(0, \lambda)$, 여기서 $C$는 열린 집합 $U$에 의존하며, $M \setminus U$에 지지된 힐베르트 변환에 대해 성립한다.
• 단조성 힐베르트 다양체에서 $\lambda > 0$일 때 스펙트럼 불변량은 $\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$에서 $Ham_c(M\setminus U)$로 내림내림되며, 이는 위상적 보정 항 덕분이다.
• 안정적으로 이동 가능한 $U$일 경우 $Ham_c(M\setminus U)$의 호퍼 지름은 무한하다. 스펙트럼 불변량을 임의로 크게 만들 수 있기 때문이다.
• $\mathcal{E}_A(M\setminus U)$는 모든 $A > 0$에 대해 비어 있지 않은 $C^0$-내부를 가지며, F. Le Roux의 호퍼 거리의 $C^0$-연속성에 대한 질문에 대해 긍정적인 답변을 제시한다.
• 경계가 있는 컴팩트 심플렉틱 다양체에 대해 단조성 조건 하에서 결과를 확장하였으며, 스펙트럼 불변량은 $|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n\lambda$를 만족한다.
• 확장된 다양체 $\hat{X} = X \cup_{\partial X} \partial X \times [0,\infty)$에서 적합한 힐베르트 변환을 통한 스펙트럼 불변량의 구성은 일관성을 보장하며, 경계가 있는 다양체로의 주요 결과 확장을 가능하게 한다.