[논문 리뷰] Regularity of Einstein Manifolds and the Codimension 4 Conjecture

Jeff Cheeger, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 리치 곡률을 가진 리만 다양체의 비붕괴 Gromov-Hausdorff 극한에서의 특이점 집합의 하우스도르프 차원이 최대 $ n-4 $임을 증명함으로써 차원이 4인 추측을 해결한다. 저자들은 양적 분할과 새로운 $ C^2 $-정규성 추정 및 $ C^1 $-디피오모르피즘 제어를 조합하여, 모든 $ q<2 $에 대해 곡률에 대한 사전 $ L^q $-유계를 확립하고, 차원 4에서는 유계 리치 곡률과 체적 비붕괴 조건 하에서 $ L^2 $-곡률 추정과 유한 디피오모르피즘 유형 정리도 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the regularity of noncollapsed Riemannian manifolds $(M^n,g)$ with bounded Ricci curvature, as well as their Gromov-Hausdorff limit spaces $(M^n_j,d_j)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X,d)$, where $d_j$ denotes the Riemannian distance. Our main result is a solution to the codimension $4$ conjecture, namely that $X$ is smooth away from a closed subset of codimension $4$. We combine this result with the ideas of quantitative stratification to prove a priori $L^q$ estimates on the full curvature $|Rm|$ for all $q&lt;2$. In the case of Einstein manifolds, we improve this to estimates on the regularity scale. We apply this to prove a conjecture of Anderson that the collection of $4$-manifolds $(M^4,g)$ with $|Ric_{M^4}|\leq 3$, $Vol(M)&gt;v&gt;0$, and $diam(M)\leq D$ contains at most a finite number of diffeomorphism classes. A local version of this is used to show that noncollapsed $4$-manifolds with bounded Ricci curvature have a priori $L^2$ Riemannian curvature estimates.

연구 동기 및 목표

• 유계 리치 곡률을 가진 리만 다양체의 비붕괴 Gromov-Hausdorff 극한에서의 특이점 집합에 대한 차원 4 추측을 해결하기.
• 유계 리치 곡률 조건 하에서 이러한 극한에서 리만 곡률 텐서 $ |\mathrm{Rm}| $ 에 대한 사전 $ L^q $-추정을 확립하기.
• 유계 리치 곡률과 체적 비붕괴 조건을 만족하는 비붕괴 4차원 다양체가 유한한 디피오모르피즘 유형을 가짐을 증명하기.
• 유계 리치 곡률과 체적 비붕괴 조건 하에서 차원 4에서 $ L^2 $-곡률 유계를 확립하기.
• 아인슈타인 다양체의 정규성 이론을 향상시켜 정규성 척도 및 곡률 적분 가능성에 대한 추정을 개선하기.

제안 방법

• 정규성 척도의 $ C^2 $-정규성과 $ C^1 $-디피오모르피즘 제어를 활용하여 특이점 집합을 차원과 측도가 제어된 스타타로 분해하는 양적 분할을 사용하기.
• 정규성 척도의 수준 집합 크기를 제어할 수 있는 절삭 정리를 증명하여 특이점 집합의 측도 추정 가능하게 하기.
• $ C^1 $-디피오모르피즘 제어를 적용하여 링형 영역에서 $ C^1 $-노름이 작은 조화좌표를 구성함으로써 경계 제어의 균일성 확보하기.
• 차원 4에서의 체른-가우스-보네 공식을 사용하여 $ \int_U |\mathrm{Rm}|^2 $ 를 오일러 지표와 제2 기본형태 제약 조건으로 유계화하기.
• $ C^1 $-디피오모르피즘 제어를 체적 단조성과 이중화 추정과 결합하여 반경이 제어된 공들의 유한 커버리지를 구성하기.
• $ C^1 $-디피오모르피즘 제어를 활용하여 제어된 영역에서의 적분과 위상수학적 불변량을 통해 $ L^2 $-곡률 유계를 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 리치 곡률을 가진 다양체의 비붕괴 Gromov-Hausdorff 극한에서 특이점 집합의 차원이 최소 4 이상인가?
• RQ2 유계 리치 곡률과 체적 비붕괴 조건 하에서 모든 $ q<2 $에 대해 리만 곡률 텐서 $ |\mathrm{Rm}| $ 에 대한 사전 $ L^q $-유계를 확립할 수 있는가?
• RQ3 차원 4에서, 유계 리치 곡률과 체적 비붕괴 조건을 만족하는 비붕괴 다양체가 $ L^2 $-곡률 유계를 갖는가?
• RQ4 유계 리치 곡률, 체적, 지름 조건을 만족하는 4차원 다양체의 집합은 디피오모르피즘 유형 측면에서 유한한가?
• RQ5 차원 4에서, 곡률과 체적 비붕괴 조건에 따라 정규성 척도를 균일하게 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ |\mathrm{Ric}| \leq n-1 $ 과 $ \mathrm{Vol}(B_1) > \mathrm{v} > 0 $ 를 만족하는 다양체의 비붕괴 Gromov-Hausdorff 극한에서 특이점 집합 $ \mathcal{S} $ 는 하우스도르프 차원이 최대 $ n-4 $ 이며, 이는 차원 4 추측을 해결한다.
• 모든 $ q<2 $ 에 대해 리만 곡률 텐서의 $ L^q $-노름은 $ \fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^q \leq C(n,\mathrm{v}) $ 를 만족하며, 이러한 다양체 전반에 걸쳐 균일하다.
• 차원 4에서는 곡률 텐서의 $ L^2 $-노름이 균일하게 유계이다: $ \fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^2 \leq C(\mathrm{v}) $.
• 유계 리치 곡률 $ |\mathrm{Ric}| \leq 3 $, 체적 $ \mathrm{Vol}(M) > \mathrm{v} > 0 $, 지름 $ \mathrm{diam}(M) \leq D $ 를 만족하는 4차원 다양체의 집합은 오직 유한한 디피오모르피즘 유형만 포함한다.
• 비붕괴 4차원 다양체는 유계 리치 곡률과 체적 비붕괴 조건을 만족할 때, 제어된 이진 범위의 반경을 가진 링형 영역에서 $ C^1 $-디피오모르피즘 제어를 갖는다.
• 이러한 4차원 다양체의 극한 공간은 최대 $ c(\mathrm{v}) $ 개의 특이점을 가진 리만 오비폴드이며, 유클리드 체적 성장 조건을 만족하는 완전한 리치 평탄 4차원 다양체는 ALE 공간이다.