[논문 리뷰] Deterministic and probabilistic algorithms for stabilizing discrete-time switched linear systems

Atreyee Kundu, Niranjan Balachandran외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 08.

Formal Methods in Verification참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가중 방향 그래프를 사용하여 이산시간 스위치 선형 시스템에서 안정화 스위칭 신호를 합성하기 위한 결정론적 및 확률론적 알고리즘을 제시한다. 스위칭 신호를 그래프 위의 산책으로 모델링하고 그래프 이론적 및 마팅게일 기반 분석(아즈마 부등식 포함)을 적용함으로써 안정성에 대한 충분조건를 확립하고, 안정화 가능한 스위칭 시퀀스의 가능성에 대한 확률적 경계를 제공하며, 평균 체류 시간 제약 조건이 필요 없는 이전의 점근적 스위칭 조건 연구를 확장한다.

ABSTRACT

In this article we study algorithmic synthesis of the class of stabilizing switching signals for discrete-time switched linear systems proposed in [12]. A weighted digraph is associated in a natural way to a switched system, and the switching signal is expressed as an infinite walk on this weighted digraph. We employ graph-theoretic tools and discuss different algorithms for designing walks whose corresponding switching signals satisfy the stabilizing switching conditions proposed in [12]. We also address the issue of how likely/generic it is for a family of systems to admit stabilizing switching signals, and under mild assumptions give sufficient conditions for the same. Our solutions have both deterministic and probabilistic flavours.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 스위치 선형 시스템에 대해 불안정한 부분계열이 존재할 수 있는 경우에도 안정화 스위칭 신호의 알고리즘적 합성을 다루는 것.
• 모든 부분계열이 셸루 안정성이 아니더라도 이러한 안정화 신호가 존재하는 조건을 규명하는 것.
• 스위칭 신호의 점근적 성질에 기반하여 안정화 스위칭 시퀀스를 탐지하거나 설계하기 위한 결정론적 및 확률론적 알고리즘을 개발하는 것.
• 아즈마의 부등식과 같은 확률론적 도구를 사용하여 약한 가정 하에 안정화 스위칭 신호의 존재 가능성을 정량화하는 것.
• [12]의 프레임워크를 확장하여, 안정화 스위칭 신호를 검증하고 구성하기 위한 계산적으로 실현 가능한 그래프 기반 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 스위치 시스템을 가중 방향 그래프(digraph)로 모델링하여, 노드는 부분계열을 나타내고 간선은 그들 사이의 전이를 나타낸다.
• 이전 연구 [12]에서 유도된 점근적 조건을 만족하는 무한 산책을 통해 안정화 스위칭 신호의 클래스를 정의하며, 점별 체류 시간 제약 조건을 피한다.
• 안정된 부분계열의 부분그래프($\mathcal{P}_S$)에서 길이가 적어도 $\lfloor \Phi(|\mathcal{P}_S|) \rfloor$ 이상인 사이클을 식별하기 위해 그래프 이론적 도구를 사용한다.
• 산책의 무게 과정에 도브의 분해를 적용하여 마팅게일과 엄격하게 감소하는 보정항으로 분리함으로써 확률론적 분석을 가능하게 한다.
• 마팅게일 성분에 아즈마 부등식을 적용하여 총 무게가 0을 초과할 확률에 대한 상한을 유도함으로써, 높은 확률로 안정성을 확보한다.
• Algorithm 1을 설계하여 $\mathcal{P}_S$에서 충분한 길이를 가진 사이클을 탐지함으로써 안정화 스위칭 시퀀스에 대응하는 것을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 이산시간 스위치 선형 시스템의 가족이 [12]의 점근적 조건을 만족하는 안정화 스위칭 신호를 가질 수 있는가?
• RQ2 그러한 안정화 스위칭 신호는 어떻게 알고리즘적으로 탐지하거나 합성할 수 있으며, 계산적으로 효율적인가?
• RQ3 가중 방향 그래프 위의 무작위 산책으로 표현된 스위칭 신호가 시스템 안정성에 이르는 확률은 얼마인가?
• RQ4 특히 안정된 부분계열의 진입 차수에 의해 가중 방향 그래프의 구조가 안정화 스위칭 시퀀스의 존재성과 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 평균 체류 시간 제약 조건이 없을 경우, 아즈마의 부등식과 같은 확률론적 도구가 안정화 스위칭 신호의 실패 확률을 효과적으로 경계하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 안정된 부분계열의 부분그래프($\mathcal{P}_S$)에 길이가 적어도 $\lfloor \Phi(|\mathcal{P}_S|) \rfloor$ 이상인 사이클이 존재하면 안정화 스위칭 신호가 존재한다. 여기서 $\Phi$는 시스템의 점근적 성질에 대한 함수이다.
• Algorithm 1은 안정된 부분계열의 부분그래프에서 그러한 사이클을 탐지할 수 있으며, 이는 안정화 스위칭 신호를 구성하기 위한 결정론적 방법을 제공한다.
• 가중 방향 그래프 위의 무작위 산책이 안정화 스위칭 신호로 이르는 확률은 $\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{(α-β)\sqrt{n}}{A+B}\right)^2\right)$ 이하로 경계된다. 여기서 $\alpha < \beta$는 무게 매개변수이고 $n$은 사이클 길이이다.
• 실패 확률에 대한 경계는 사이클 길이의 제곱근에 따라 지수적으로 감소하므로, 더 긴 사이클은 안정성의 가능성을 크게 증가시킨다.
• 이제까지의 접근 방식과 비교해 볼 때, 이 방법은 정수계획법이나 평균 체류 시간 제약 조건이 필요 없으며, 기존 방법에 비해 수치적으로 더 단순한 대안을 제공한다.
• 이 프레임워크는 일부 부분계열이 불안정하더라도, 안정된 부분계열들이 그래프 표현에서 충분히 풍부하고 연결되어 있다면 적용 가능하다.